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Publié par | colle-mpsi |
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Langue | Français |
Extrait
MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e
PROGRAMME DE COLLE S13 Bis
semaine du 3+13 janvier 2012
NB :seulesem,srppohte´roe`´etoil´eositionsesap´gixensetnoss.eed´eslartsnomesedsnoit
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STRUCTURES ALGEBRIQUES FONDAMENTALES
Lois de composition interne
D´efinition:Une loi de composition interne⋆:E×E→Eest dite :
associativesi∀(x y z)∈E3 x ⋆(y ⋆ z) = (x ⋆ y)⋆ z.
commutativesi∀(x y)∈E2 x ⋆ y=y ⋆ x.
Une´le´mentde(E ⋆)est ditreuteme´entnle´pour⋆si :∀x∈E x ⋆ e=e ⋆ x=x
D´efinition:On suppose que(E ⋆)reutnenteme´le´nuaeet que⋆etemen´el´.enUtaviosictssax∈Eems´tedtitsyblerisa
s’il existex′∈E, tel quex ⋆ x′=x′⋆ x=e.x′eleolatse´leppasrsym´etriquedex.
Savoir-faire :l.nei.c.tgesn´´elarenemetont+ee´,u×, ou⋆. Vous devez savoir adapter suivant les cas (+,×,⋆) les
notionsdesyme´trique,d’´ele´mentneutre,etd’ite´re´d’une´le´ment.
Groupes
D´efinition:SoitGun ensemble muni d’une loi de composition interne⋆.
(G1)la loi⋆est associative
On dit que(G ⋆)est ungroupesi(G2)la loi⋆pso`sdeue´nleertuentneme´
(G3)ue.rtqimye´uesn`sdeostpeneml´´eutto
Si de plus la loi⋆est commutative, on dit queGest groupenebae´il, oucommutatif.
D´efinition:Soit(G×)un groupe etH⊂Gune partie deG.Hest unsous-groupe deG(H < G) si :
Hest stable par pour la loi deG:∀(x y)∈H×H x×y∈H.
(H×)est un groupe.
The´ore`me*.—Caract´erisationdessous-groupes— Soit (G×) un groupe etHun sous-ensemble deG. Alors
Hest un sous groupe deGsi et seulement si((SGGS12))∀(x y)∈H×HH6=∅x×y−1∈H
Morphismes de groupes
De´finition:Soit(G×)et(G′ ⋆)deux groupes.f:G→G′atsen´eeuppelmorphisme de groupesi :
∀(x y)∈G×G f(x×y) =f(x)⋆ f(y)
Vocabulaire :endomorphisme, isomorphisme, automorphisme
Proposition.—Soitf:G→G′un morphisme de groupes. Alors pour tout (x y)∈G2
f(1G) = 1G′f(x×y) =f(x)⋆ f(y)
f(x−1) = (f(x))⋆(−1)f(x×y−1) =f(x)⋆(f(y))⋆(−1)
Proposition.—isomorphismere´ciproque—.Soitf:G→G′tacilppaice´rnoiuoqprnurohpsimodegrismes.L’oupe
f−1:G′→Gest un isomorphisme deG′surGappel´eromosihp´rempicequroeisdef.
Proposition.— Image et noyau d’un morphisme de groupe —.Soient (G×) et (G′ ⋆) deux groupes etf:G→G′
un morphisme de groupes. Alors
f(G) ={f(x) ;x∈G}est un sous-groupe deG′. On l’appelle l’imagedef. On le noteImf.
¯
f1({1G′}) ={x∈G|f(x) = 1G′}est un sous-groupe deG, on l’appelle lenoyaudef. On le noteKerf.
Th´eor`eme.—Soient (G×) et (G′ ⋆) deux groupes etf:G→G′un morphisme de groupes. Alors
fest surjectifsi et seulement siImf=G′
fest injectifsi et seulement siKerf={1G}
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Etudedugroupesym´etrique
Proposition.—Soitn∈N⋆, (Sn◦urpocolaosmpioittse)rgnuepuonsioaticplapesnde´leppa,eriqum´etysepuorg.
L’´el´ementneutreestl’applicationidentite´.
Exemples :les transpositions, les cycles sont des permutations
The´or`eme.—De´compositiond’unepermutationenproduitdetranspositions—.Soitn∈N⋆.
c=a1a2a3 ap=a1a2◦a2a3◦ ◦ap−1ap
toute permutationσdeSnmoceasopeelbpnundurod’itplauusestd´n−1 transpositions.
Savoir-faire :resopmocumrepenudeontitad´eSnen produit de transpositions.
D´efinition:Soitσ∈Snune permutation. On noteI(σ)lenombre d’inversionsdeσ, i.e. le nombre de couples
(i j)∈[1 n]]2tels quei < jetσ(i)> σ(j).
D´efinition:Soitn∈N⋆,σ∈Sn. On appellesignaturedeσlrerbmonelee´ε(σ) = (−1)I(σ).σest ditepaire(resp.
impaire) siε(σ) = 1(resp.ε(σ) =−1).
Th´eore`me*.—L’applicationε:Sn◦→{±1}×un morphisme de groupes. Autrement dit,est
∀(σ ρ)∈S2n εσ◦ρ=εσ×ερ
Proposition*.—Soitn∈N⋆, etc=a1a2 apunp-cycle deSn. Alorsε(c) = (−1)p−1.
En particulier, les transpositions ont pour signature−1.
Anneaux et corps
D´finition :SoitAunedeuenudilbmesnmeseet´no.,.i.cxl+et×.(A+×)est un anneausi :
e
(A1) (A+)est ungroupe commutatif´eL’eml´.edentnertue+en´ttsoe0A.
(A3)la loi×estdistributive par rappz
((AA42))iollal×estassociative.roreneut,tn`aot´ela1lAoi+,∀∀((yxyzx))∈∈AA33(xx×+(yy)+×zz=)=xx××yz++xy××zz.
a loi×ospnuede`stneme´le´
Si de plus la loi×est commutative, on dit que(A+×)est unanneau commutatif.
D´efinition:Soit(A+×)un anneau.On appelle sous-anneau deAtoute partieBdeA, stable par+et×, contenant
1Aet telle que(B+×)est un anneau.
Th´or`eme*.—Caract´erisationdessous-anneaux—.Soit (A+×) un anneau etB⊂Aune partie deA.
e
(SA1) 1A∈B
Best un sous-anneau deAsi et seulement si(SA2)∀(x y)∈B×B x−y∈B
(SA3)∀(x y)∈B×B x×y∈B
Savoir-faire :vous devez connaˆıtre et savoir appliquer lameˆoinubdelumrofde Newton et l’uetriqom´egee´it´tdine
pourdeux´ele´mentsdel’anneauquicommutent.
D´efinition:SoitKun ensemble muni de deux lois de composition interne+et×.(K+×)est uncorpssi
(K+×)mmtuuaocnaeentsnuit`a´edunonratif{0},
K×=K {0}nentnountue´´lmersible.lestinve’c,toueeqir-d`at-es
Exemple :es,uellsinueledMioatusnssourerp´QRetCsont des corps
De´finition:On appellesous-corpsd’un corps(K+×)toute partieLdeK, stable par+et×qui, munie des lois
induites par+et×est un corps.
Proposition*.—Caracte´risationdessous-corps—.Soit (K+×) un corps etL⊂Kune partie deK.
(SC1) 1K∈L
Lest un sous-corps deKsi et seulement si(SC2)∀(x y)∈L×L x−y∈L
(SC3)∀(x y)∈L×L⋆ x×y−1∈L
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