Colle N°23: Suites numériques

Description

erMPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr semaine du 3+1 septembre 2011 PROGRAMME DE COLLE S23 NB : seules les d´emonstrations des th´eor`emes, propositions ´etoil´ees ne sont pas exig´ees. ´SUITESNUMERIQUES(II) Suites de r´ef´erence Proposition*.— Trois relations de comparaison —. Soient u et v des suites de nombres r´eels. On suppose qu’`a partir d’un certain rang n , v = 0. Alors0 n 1. u =O(v ) si et seulement si (u /v ) est born´ee.n n n n n≥n0 2. u = o(v ) si et seulement si lim u /v = 0.n n n n n→+∞ 3. u ∼ v si et seulement si lim u /v = 1.n n n n n→+∞ 6′ ′Th´eor`eme.— Croissances et croissances compar´ees des suites de r´ef´erence —. Soit (a,b,α,α ,β,β ) ∈ R tels ′ ′que 1 0 : l’´equation caract´eristique poss`ede deux racines r´eelles distinctes, not´ees r , r .1 2 2 n n∃ !(λ,μ)∈R tel que∀n∈N, u = λr +μrn 1 2 ◮ Si Δ = 0 : l’´eq. caract´eristique poss`ede une racine r´eelle double, not´ee r0 2 n n∃ !

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Mathématiques

Informations

• Publié par: colle-mpsi
• Nombre de lectures: 28
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e

PROGRAMME DE COLLE S23

semaine du 3+1erseptembre 2011

NB :seulesem,srppohte´roe`´etoil´eositionsesap´gixensetnoss.eed´eslartsnomesedsnoit
´
SUITES NUMERIQUES (II)

Suitesder´ef´erence

Proposition*.— Trois relations de comparaison —.Soientuetvsedtiusedsebmonsoqe’ua`resr´eels.Onsupp
partir d’un certain rangn0,vn6= 0. Alors

1.un=O(vn)si et seulement si(unvn)n≥n0.eobtese´nr
2.un=o(vn)si et seulement sinl→i+munvn= 0.
∞
3.un∼vnsi et seulement sinl→i+munvn= 1.
∞

The´ore`me.—Croissancesetcroissancescompar´eesdessuitesder´efe´rence—.Soit (a b α α′ β β′)∈R6tels
que 1< a < b, 0< α < α′et 0< β < β′.
1. La suite (na) est convergente de limite 1. 4. La suite (an) est divergente vers +∞.
2. La suite(lnn)βn≥1est divergente vers +∞ La suite (. 5.n!) est divergente vers +∞. De plus,
3. La suite (nα) est divergente vers +∞ suite ( La. 6.nn) est divergente vers +∞.
3.nα=onα′5.an=obn
4.nα=oan6.an=on!

The´ore`me*.—

1. (lnn)α=o(lnn)α′
2. (lnn)β=onα

∈R lim. Siun= 0, alors
Equivalents usuels —.Soitu∈RN,αn→+∞

•sinun∼un
•(1 +un)α−1∼αun

Suites classiques

2
•1−cosun∼u2n
•ln(1 +un)∼un

Th´`—Suitege´om´etrique.—Soienta∈R⋆etq∈R.se´xfi
eoreme.

•tanun∼un
•eun−1∼un

Unesuitege´ome´triquederaisonq∈Rest convergentesi et seulement si|q|<1 ouq= 1.

Soitulsaiuet´geom´etriquederainosqet de premier termeu0uoevnuneiuetllse´ee,not.O´enditfinSen posant
n
∀n∈N Sn=Xukeel´peapsuite des sommes partiellesdes termes de la suiteu.
k=0

Proposition.— Suite des sommes partielles.—La suite des sommes partielles
raisonqest convergentesi et seulement si|q|<1. En ce cas :

limSn=u0
n→+∞1−q

S

d’une

The´or`eme.—Suitearithm´etico-ge´ome´trique.—Soit (a b)∈R2tel quea6= 1 etb6= 0
Soitula suite de premier termeu0∈Repniefid´´rednoitaleralraeecurrenc

un+1=aun+b

Soitratquniodeon´el’alosulitr=ar+b. La suitev=u−rgte´sertqimoe´raisuedeona.

1

suiteg´eom´etriqueude

Th´eor`eme*.—Soit (a b)∈R⋆×R⋆etuune suite de nombresr´eelsd´rcerueralitnonieparlad´efincree:
e

∀n∈N un+2=aun+1+bun
Notons Δ le discriminant de l’racaoicnuqtae´equtiisert´:r2−ar−b= 0.
◮Si Δ>stee´’l:0ristiqueposs`edeqeauitnoacartce´sdletiistencnos,xuedicarrsenlee´r1,r2.
´
∃!(λ )∈R2tel que∀n∈N un=λr1n+r2n
◮eq’´:l=0t´acar.cΔiSosepeds`iserquti´renlleeenueicarnot´eeedouble,r0
∃!(λ )∈R2tel que∀n∈N un=λr0n+n r0n
◮Si Δ<c.qe´’l:0euxrededoss`ar.pexcspmelseoccaniujnoe´ugidsenitsesctot,nes´er=ρe±iθ
∃!(λ )∈R2tel que∀n∈N un=ρn(λcosnθ+sinnθ)

Suitesre´currentesun+1=f(un)

Proposition.—Etationfnonn´censtundeof:I→Inuniserufiein,´dlealrvteItniemeˆmecsnadsreualav`ervalleI,
eta∈I, il existe une suite (un)∈RN, unique telle que
•u0
(1)• ∀n=∈aN un+1=f(un)

De plus, (un)∈INesdntdetiuseneme´le´’estuI.

Proposition.—Soientf:I→Iet (un)n∈Nlasuitednfie´apei)1(rteh=f−Id:I→R
Sihest positive surI,alors(un) est croissante.
Sihegatstn´eruviseI,alors(unisrontsast)eecd´.e

The´ore`me.—casd’uneit´eratricemonotone.—Soitf:I→Iet (un)n∈Nuspp.)nOeusoqesalefid´teui(1arepni
fest monotone.
Sifest croissante surIalors(un) est monotone.
Sifets´dceroissantesurIalors(u2n) et (u2n+1) sont monotones et de monotonies contraires.
Illustration :saurtqauitsetiel´eons´airement

Th´`eme.—casd’uneit´eratricecontinue.—Soitf:I→Iune fonctioncontinuesur un intervalle stableIet
eor
(un)n∈Nd´efiuitelas.)ra1(inpe

Sila suiteuest convergente versℓ∈I,alorssa limiteℓest une solution dansId’´elqeauitno:f(x) =x.

Th´eor`eme.—casd’uneite´ratricestrictementcontractante.—Soientf:I→Iune fonction lipschitzienne de
constantek∈]01[,ℓun point fixe defet (un)n∈Nustidee´alrslo.A1)r(paiefin∀n∈Nun+1−ℓ≤kun−ℓ.
Parcons´equent,lasuite(un) est convergente de limiteℓet

∀n∈Nun−ℓ≤knu0−ℓ

Savoir-Faire :utiliser l’nie´galit´edesaccroimessstnesinfipour montrer quefestk-lipschitzienne.

Suitesde´finiesimplicitement
Savoir-faire :utiliser leemedelabTh´eor`jiceitnosdetse’c,tnerid-a`-oprue´utteui´esderdissdeicilemeteinfipmis
suitesdontletermeg´ene´ralestsolutiond’une´equation:

(En)

fn(x) = 0

Exercice 1 :oncoOnsndie`eralofcnitf:]0+∞[→Raredp´neifi∀x∈]0+∞[ f(x) = 2x e−x
1. Soitn≥noauit´’qequeltrez.Mon2f(x) =1n, admet une unique solution dans ]012e],not´ean.
2. Montrez que la suite (an)n≥2lasztimireteenime.mtnotonoseenteetd´econverg
2