Correction : Algèbre générale, Equation fonctionnelle

David Delaunay Http://Mpsiddl.Free.Fr

Description

Mathématiques élémentaires.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

• Publié par: algebre-mpsi
• Nombre de lectures: 22
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

Equation fonctionnelle

L’objectif de ce problème est la détermination des applications:ℝ+→ℝvérifiant les deux propriétés

suivantes :
(1)
(2)

∀,∈ℝ+,(+)≥()+() (on dit queest sur-additive),
∀,∈ℝ+,()=()() (on dit queest multiplicative).

Partie I : Un exemple

Soitαun réel supérieur ou égal à 1.
1. Montrer que pour tout réel≥0 , (1+)α≥1+α.
2. En déduire que pour tout,≥ (0 ,+)α≥α+α.

3.

On considère la fonction:ℝ+→ℝdéfinie par()=α.
Justifier queest solution du problème posé.

Partie II : Quelques propriétés

1. Quelles sont les fonctions constantes solutions du problème étudié ?
Désormaisdésigne une fonction non constante solution du problème étudié.
2. Montrer que(0)=0 ,(1) 1 .
=
3.a Etablir :∀∈ℝ+,∀∈ℕ,()=().

1
3.b Etablir aussi :∀∈ℝ+,≠0⇒()≠0 et1 =().

3.c
4.

Etablir enfin :∀∈ℝ+,>0⇒()>0 .
Montrer queest croissante.

Partie III : Détermination des solutions

A nouveaudésigne une fonction non constante solution du problème étudié.
1. Etablir que ln bien défini et que ln(2) est(2)≥ln 2 .
2. Justifier :∀>0,∃!∈ℤ 2tel que≤<2+1.
3. Soit un réel>0 etun entier naturel.
On convient de noterl’unique entier tel que 2≤<2+1.
3.a Déterminer la limite du rapportquandtend vers+∞.
3.b En observant l’encadrement(2)≤()≤(2)+1,
stifier : ln ( ) 1
ju≤ln(2)≤+.

3.c En déduire que lnl(n)=nll .)2(2n

4. On poseα=nll2()2≥1 .
n
Justifier que pour tout réel≥0 ,()=α.

Correction

Partie I

Pour commencer, rappelons que la fonction֏définie surℝ+est croissante lorsque≥0 .
1. Introduisons la fonctionϕ:֏(1+)α−(1+α sur) définie 0,+∞.
ϕest dérivable etϕ′()=α(1+)α−1−α≥0 car (1+)α−1≥1 .
Par suiteϕest croissante et puisqueϕ(0)=0 ,ϕ()≥0 pour tout≥0 . L’inégalité demandée en
découle de manière immédiate.
2. L’inégalité est immédiate quand=0 ou=0 . Il reste à l’établir quand,>0 . Sans perte de
généralités, on peut supposer≥.
(+)α=α1+αet1+α≥1+αdonc (+)α≥α+αα−1.
 
Orα≥1 etα−1≥α−1donc (+)α≥α+α.
3. Par l’inégalité de 2.(+)=(+)α≥α+α=()+() .
De plus()=()α=αα=()() .

1.

2.

3.a

3.b

3.c

4.

1.

2.

3.a

3.b

Partie II

Siest constante égale à, la sur-additivité dedonne≥+donc≤ la multiplicativité0 ;
dedonne=2d’où=0 ou=1 . On conclut alors=0 . Par suite une fonction constante
solution ne peut être que la fonction nulle. Inversement la fonction nulle est bien solution.
En exploitant la sur-additivité et la multiplicativité deavec==0 , on obtient(0)≥(0)+(0)
et(0)=(0)2. Comme ci-dessus, on conclut(0)=0 .
En exploitant la multiplicativité deavec==1, on obtient(1)=(1)2d’où(1)=0 ou(1)=1 .
Mais si(1)= pour tout réel0 alorset par multiplicativité de:()=(×1)=()(1)=0 et
apparaît alors comme étant une fonction constante. Ceci étant exclu, il reste .(1) 1
=
Il suffit de raisonner par récurrence sur∈ℕ.
Pour≠0 , 1=(1)=×1=()1d’où()≠0 et1 =(1).

Pour>0 , on a déjà()≠0 . De plus()=(2)=()2≥0 donc()>0 .
Soit≤∈ℝ+.()=(+−)≥()+(−) avec(−)≥0 donc()≥() . Ainsi
est croissante.

Partie III

(2)≥(1)+(1)=2 donc ln et(2) existe ln(2)≥ln 2>0 .
2≤<2+1⇔ln 2≤ln<(+1) ln 2⇔≤nnll2<+1⇔=nlln2
 +d’où ln−1≤ln
2≤<2+1donne≤nlnl2≤nl12  ≤ .ln 2

 →ln
Par le théorème des gendarmes, on obtient→+ .ln 2
∞
Par croissance de,(2)≤()≤(2+1) puis(2)≤()≤(2)+1via II.3.b.
En appliquant le logarithme néperien, on obtientln(2)≤ln()≤(+1) ln(2) sachant()>0

3.c

4.

et(2)>0 .
De plus, puisque ln(2)>0 , on obtient≤lnln((2))≤+ .1
ln ln ( ) ln
btient
En passant cette encadrement à la limite quand→ +∞on o ln2≤ln(2)≤lnlité’égaoù l d’2

ln() ln(2)
=
.
lnln 2
Notons queα≥ ln1, puisqu’on a vu(2)≥ln 2

Par 3.c, on a ln()=αlndonc(
pour=0
.

)=

αpour tout>0 . De plus l’égalité()=αest aussi vraie