Correction : Algèbre générale, Homographies conservant U

David Delaunay Http://Mpsiddl.Free.Fr

Description

Nombres complexes.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

• Publié par: algebre-mpsi
• Nombre de lectures: 318
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

Homographies conservant U

Notations

On noteℝl’ensemble des nombres réels etℂl’ensemble des nombres complexes.
On introduit les sous-ensembles deℂsuivants :
={∈ℂ/=1}={θ/θ∈ℝ},={∈ℂ/ Im()>0}et={∈ℂ/<1}.

Définition

Soit,,,∈ℂtels que−≠0 .
On appelle homographie définie par la relation()=++l’applicationà valeurs dansℂqui à tout

∈ℂtels que+≠ par0 associe++.


Partie I - Exemple

Soitl’homographie définie par()=11+.
−
1.a Montrer que∀∈tel que≠1 ,()∈ℝ.
1.b Observer que∀∈,()∈.
2.a Déterminer les complexestels que()=.

2.b Pour quel(s)∈ℂl’équation()=d’inconnue≠1 possède-t-elle une solution ?

Soitl’homographie définie par()=−.
+
3.a Montrer que∀∈ℝ,()∈.
3.b Observer que∀∈,()∈.

1.

2.

2.a
2.b
3.

3.a

3.b

4.

Partie II - Homographies conservant U

Soitθ∈ℝetl’homographie définie par()=eθ.

Montrer que∀∈,()∈.

Soitα∈ℂtel queα∉,θ∈ℝetl’homographie définie par()=eθα++α .1

Montrer queest bien une homographie et queest définie sur.
Montrer que∀∈,()∈.
Inversement, nous allons démontrer que seules les homographiesprécédentes sont telles que
∀∈,()∈. Avant cela, nous avons néanmoins besoin de deux résultats techniques :
Etablir que∀α,β∈ℂ,α+β2=α2+β2+2 Re(αβ) .

Soit,∈ℂ. Etablir :(∀θ∈ℝ,+2 Re(e−θ)=0⇒)=0 .0
=
Soit,,,∈ℂtels que−≠0 etdéfini a= +une homo
e p r( )+graphie définie sur
telle que∀∈,()∈.

4.a

4.b

4.c
4.d
4.e

4.f

1.a

1.b

2.a

2.b

3.a

2.b

1.

2.a

2.b

3.a

3.b

Etablir∀θ∈ℝ,2+2+2 Re(e−θ)=2+2+2 Re(e−θ) .
2+2=2+2.
En déduire : 
=
Si=0 : montrer que l’homographieest du type présenté en II.1.
Si≠ (0 : établir que2−2)(2−2)=0 .

Observer que le cas=est impossible de part la condition−≠0 .

Observer que le cas=conduit à une homographiedu type présenté en II.2.
Correction

Partie I

Soit∈\{1}. On peut écrire=eθet alors avecθ∈]0, 2π[.
θ
 
()=11−+eeθ−=22cs(osniθ(θe)2)2eθ2θ2= −cotθ2∈ℝ.

2
Soit∈.()=(1+1−)(12−)= −12I−m(2)+11−−2∈car<1 .
2
()=⇔2+(−1)+=0 . =(−1)2−4= −6=(3(1−) .

Les solutions sont (1−) 1±. 3
2
Soit∈ℂ\{1}.()=⇔(1+)=(−1)⇔= −11−−=+−

t∈ℝ.
Soi()=−+=22++1=1 donc∈.
1

−+or−2=Re()2+(Im()−1)2et 2R
Soit∈.()=+ =

−<+car Im()>0 et par suite()∈.

Partie II

e()

2+(Im()+1)2donc

∀∈ e, oθ
n a()= =1 donc()∈.

La condition−≠0 impose eθ×1−αeθα≠0 i.e.α≠1 d’oùα∉.
De plus∀∈,≠ −1αdoncest définie sur.
 e  =+α×=+α=1.
( )=θα++α)( a n1O .α+1α+
α+β2=(α+β)(α+β)=αα+αβ+αβ+ββ=α2+β2+2 Re(αβ) carαβ=αβ.
Supposons∀θ∈ℝ,+2 Re(e−θ)=0 .
Soitα∈ℝtel que=eα(α=arg()[2π]si≠0 ,αquelconque sinon).
Pourθ=α:+2 Re(e−θ)=+2 Re()=+2=0 .
Pourθ=α+π:+2 Re(e−θ)=+2 Re(−)=−2=0 .
2
Le système−+2== iquemi0lp0 =0 et=0 i.e.=0 .

4.a

4.b

4.c

4.d

4.e

4.f

(eθ)=eeθθ++.(eθ)=1 impliqueeθ+2=eθ+2d’où
∀θ∈ℝ,2+2+2 Re(e−θ)=2+2+2 Re(e−θ) .

∀θ∈ℝ, on a(2+2−2−2) +2 Re((−)e−θ=0 d’où

2+2−02−2= 0siup2+2=2+21)()(2 .
− = =
Supposons=0 . (2) donne=0 , or−≠0 donc≠ par suite0 et=0 .
θ
=
(1) donne alors=ce qui permet d’écrireeet alors()=++=eθ.
 
Supposons≠0 . (2) donne=et2×(1) donne alors4+22−22−

(2−2)(2−2)=0 .

2

2=0 d’où

Supposons=. On peut alors écrire=eθet=e−θmais alors−=0 qui est exclu.

Supposons=. On peut alors écrire=eθet=eθet alors

   
()=++=eθ++=eθα++αavecα=∈ℂ.
1 1
Enfin la condition−≠0 donne2eiθ−eθ≠0 donc≠puisα∉.

Finalementest du type annoncé.