Correction : Algèbre linéaire, Convolution arithmétique

David Delaunay Http://Mpsiddl.Free.Fr

Description

Arithmétique. Déterminants (dernière partie).

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

• Publié par: algebre-mpsi
• Nombre de lectures: 42
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

1.

2.

3.

4.

1.

2.

3.a

Correction

Partie I

L’application deversqui envoie (sur le coupe,  bijective donc) est
∑()( )=∑(1)(2) .
∈(1,2)∈
On en déduit que la loi⊻est commutative car la dernière expression est visiblement symétrique enet
.
Soit,,∈F.
((⊻⊻)()=∑(⊻ )()( )=∑∑()( )( )
| | |
Dans la sommation, l’entierpeut se percevoir sous la formeavecdivisant 
donc((⊻⊻)()=∑ ∑()()(( )) soit
| |( )
((⊻⊻)()=∑()(⊻ )( )⊻= (⊻( ) () .
|
Ainsi la loi⊻est associative.
Posonsε()=1 si=1 et 0 sinon.
(⊻ε)()=∑()ε( )=()ε(1)+0=() .
|
Ainsi⊻ε==ε⊻etεest élément neutre.
(F,+) est un groupe abélien (structure connue).
(F,⊻ un magma associatif possédant un neutre.) est
La distributivité de⊻sur+est immédiate.
Oui, (F,+,⊻ un anneau.) est

Partie II

Sietsont premiers entre eux alors ils n’ont pas de facteurs premiers en commun. Par suite
l’ensemble des facteurs premiers intervenant dans le produitest la réunion disjointes des ensembles
des facteurs premiers intervenant danset. Par suiteω()=ω()+ω() puis
(−1)ω()=(−1)ω()×(−1)ω(.
Les nombresαétant deux à deux premiers entre eux, la multiplicativité deentraîne

()=∏(α) .
=1
L’applicationπest bien définie car1|et2|entraîne12|.
Soit∈.
Analyse : Si=12avec1|et2|alors gcd(,)=pgcd(,12)=1pgcd( 1,2) avec
 1et2premiers entre eux cas diviseurs respectifs deetnombres premiers entre eux. Ainsi
1=gcd(, de même) et2=gcd(,) .
Synthèse : Posons1=gcd(,) et2=gcd(,) . On a clairement1|et2|. Oretsont
premiers entre eux donc1et2le sont aussi. Puisque1|,2|et1∧2= on a1 ,12|. Par
égalité de Bézout, on peut écrire1=1+1et2=2+2(avec,∈ℤ) donc
12=+(avec,∈ℤ). Or|donc|12. Enfin par double divisibilité=12.
Au terme de cette étude, on peut affirmer :
∀∈,∃!(1,2)∈×,= 1
ce qui se comprend comme étant la bijectivité deπ.

3.b

4.a

4.b

1.

2.

3.

4.

1.a

1.b

2.a

Supposonsetsont premiers entre eux.
(⊻)()=∑()( )=∑ ∑(12)((12)) .
|1|2|
Par multiplicativité deet:
(⊻)()=∑ ∑(1)( 1)(2)( 2)
1| 2|
puis
(⊻)()=∑(1)( 1)∑(2)( 2)=(⊻)()(⊻)() .
1|2|
δ()=∑ le nombre de diviseurs positifs de1 est.
|
σ()=∑est la somme des diviseurs positifs de.
|

Pournombre premier etα∈ℕ∗

1

α={1,,…,α}doncδ(α)=α+1 etσ(α)=α+−−1 1.

α

Par suiteδ()=∏1(α+1) etσ()=∏+1−11.
==1−

Partie III

Supposonsetpremiers entre eux.
Si l’un des deux est divisible par le carré d’un nombre premier, le produitl’est encore donc
()=0=()()
.
Sinondivisible par le carré d’un nombre premier carn’est pas etn’ont pas de facteurs
premiers en commun. Par suite()=(−1)ω()ω()=(−1)ω()(−1)ω()=()() .
(⊻θ)()=∑()=(1)+()=1−1=0 .
|
(⊻θ)(α)=∑()=(1)+()+⋯+(α)=1−1+0+⋯+0=0 .
|α
 
Si=∏αalors (⊻θ)( )=∏0=sn o0ni 1 is=0
.
=1=1
Ainsi⊻θ=ε=θ⊻.
Remarquons∀∈ℕ∗,()=∑()⇔=⊻θet
|
∀∈ℕ∗,()=∑( )()⇔=⊻.
|
L’équivalence proposée correspond donc=⊻θ⇔=⊻.
Cette dernière est vraie puisqueθetsont inverses l’une de l’autre pour la loi⊻.
Pour=θ⊻(⊻) donne()=∑ ∑( )() .
| |

Partie IV

Les éléments inversibles deℤℤ (sont les)avec∧=1 . Il y en a exactementϕ() .
ϕ()=− 2,1 car 1,…,− premier avec le nombre premier1 sont.
Dans1,αles nombres qui ne sont pas premier avecαsont ceux qui sont divisibles par, il y en a
exactementα−1. Par suite (α)α−1(1)
ϕ= −.

Les inversibles de(ℤℤ×(ℤℤsont les couples formé d’un inversible deℤℤet d’un inversible
deℤℤ. Il y en aϕ()ϕ() .

2.b

2.c

3.a

3.b

1.a

1.b

2.a

2.b

3.

L’application considérée est bien définie car∀,∈ℤ,= ⇒()=()et ()=().
Aisément on vérifie(1ℤℤ)=1ℤℤ×ℤℤ,(()+())=(())+(()) et
(()())=(())(()) .
De plus(())=((0), (0))⇒ |et|donc|car∧= Ainsi1 . ker= {(0)}et
doncest injecti