Correction : Algèbre linéaire, Itérés d'un endomorphisme

David Delaunay Http://Mpsiddl.Free.Fr

Description

Espaces vectoriels de dimension finie.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

• Publié par: algebre-mpsi
• Nombre de lectures: 30
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

1.

2.a

2.b

2.c

2.d

2.e

3.a

3.b

Correction

Supposons=α.. La relation2=2(1+) donneα2=2(1α.+) d’où (2α2−α−1).=0ɶpuis
2α2−α−1=0 . Par suiteα=1 ouα= −1 2 . Inversement ok.
2=1(2+) donne 22−=d’où(2−)=et (2−)=.
Par suiteest inversible et−1=2−.
ker(−) et ker(+21) sont les noyaux des endomorphismes−et+12. Ce sont donc des
sous-espaces vectoriels.
Soit∈ker(−)∩ker(+21) . On a()=et()= −12donc=.
Ainsi ker(−) et ker(+12) sont en somme directe.
Montrons=ker(−)+ker(+1 analyse/synthèse.) par

2
Analyse : Soit∈. Supposons=+avec∈ker(−) et∈ker(+12) .
()=()+()=−21donc=23−23() et=−=31+32() .
Synthèse : Soit∈. Posons=31+32() et=23−23() .
On a=+,()=31()+322()=32()+13=donc∈ker(−)
et()=32()−322()=31()−13= −21donc∈ker(+12) .
Finalement=ker(−)⊕ker(+12.) .
(+12)(−)=2+12−−12=2−12−12=0ɶ.
Puisque (+12)(−)=ɶ0 on Im( a−)⊂ker(+21) .
Mais dim Im(−)=dim−dim ker(−) et=ker(−)⊕ker(+1.2) donne
dim ker(−)+dim ker(+21)=dim Im(d’où dim−)=dim ker(+21) puis
m s.
I (−)=ker(+21 inclusion et égalité des dimension) par
Comme ci-dessus 1ɶ0
(−)(+2)=donc Im(+21)⊂ker(−) puis par égalité des dimensions,
on obtient Im(+12)=ker(−)
3=2=2(1+)=212+21=34+14.
4=3=432+41=58+38.
Unicité : Supposons=.+.et=α.+β.
ɶ
− − =
On a alors (α).+(β).0 oretsont libres donc=αet=β.
Existence : Par récurrence sur∈ℕ.
Pour=0 :0=0 et0=1 conviennent.

3.c

3.d

4.a

4.b

Pour=1 :1=1 et1=0 conviennent.
Supposons la propriété établie au rang≥0 .
+1==(.+.)=.2+.=(2+).+2.=+1.++1..

avec+1=2+et+1=2.
Récurrence établie.
+2=2+1++1=+12+. () est une suite récurrente linéaire d’ordre 2 d’équation caractéristique
2=2+ racines 11 de et−P .1etius raisexl i teλ,∈ℝtels que∀∈ℕ,=λ+−12.
2
0=0 et1=1 donneλ=32te = −. 23
 
ℕ −= −.
Finalement∀∈,323221
Puisque+1=2, on a∀∗2,11131−1ble pour=0 .
∈ℕ=−= −3−2formule aussi vala
Puisque−12<1 , on observe effectivement que→2 3 et→ .1 3

2=492+49+19=32+31=doncest une projection vectorielle.
 2
Im=Im23+.31=Im(+12)=ker(− ker) et=ker3+13=ker(+12)=Im(−) .

Finalementest la projection vectorielle sur Im=ker(−) parallèlement ker à=Im(−) .
⊂() et∈en prenantλ=0 et=1 .
Soitα,β∈ℝet,∈. On peut écrire=λ+et=λ′+′.
α.+β.=(αλ+βλ′)+(α+β′)∈et
=λλ′2+(λ′+λ′)+′=(λ′+λ′+λ2λ′)+(′+λ2λ′)∈
Par suiteest une sous algèbre de() .
De plus on observe=. Cette sous-algèbre est donc commutative.
(,) est famille génératrice depuisque par définition=Vect(,) .
Par hypothèse, (,) est libre et donc (,) est une base de.
Finalement dim=2 .