Correction : Algèbre linéaire, Puissances d'une matrice

Dd

Description

Calcul matriciel. Déterminants.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

• Publié par: algebre-mpsi
• Nombre de lectures: 16
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

d’après ICARE 1999

1.
2.
3.

4.a

4.b

4.c

1.a

1.b

1.c

2.

3.a
3.b

Correction

Partie I

etet donc forme une base desont linéairement indépendant .
On a2=puis3=2=2. Par récurrence :=−1..
∀,∈,∃α,β,α′,β′∈ℝtels que=(α+β) et=α′+β′. On a alors
=αα′+(αβ′+α′β+ββ′)∈.
Commeαetβcommutent :
=(+)=( ) ( )= −  −1
α β=∑0α−βα+∑=1α β 
donc=α+1((α+β)−α).


α+β⋱β α+⋮αβ+ββ⋯ββα+αββ⋯β
On a det == =0 0
β α+βα+⋮β β⋱α+β0⋮0⋱α
donc det=α−1(α+β)
La matriceest inversible ssiα≠0 etα≠ −β.
En reprenant la formule du 3. avecα=′1 te β′ = −β+βon a=d’où=−1.
α α(α)

Partie II

21
0=0car ()2=1donc0est un projecteur.
 
1=−0donc1est le projecteur complémentaire de0.
Comme1est le projecteur complémentaire de0:
ker0=Im1et ker1=Im0.
dim ker1=dim Im0=rg(0)=rg()=rg()=1 .
dim ker0=dim Im1=−dim ker1=−1 .
Comme0 Imest la projection vectorielle sur0 kerselon la direction0on a
Mat′(0)=diag(1, 0,…, 0) comme et1=−0 Maton a′(1)=diag(0,1,…,1) .
1
0=∈et1=−1∈.
 
De plus les représentations de0et1d’observer que ces matrices sont linéairementpermettent
indépendantes, elles forment une base de.
λ0+1=α+β⇔λ=α+β,=α.
0et1commutent puisque01=10=.
(λ)∑(λ)− () donne
=0+1=0 1
=0
−
α
=λ0+∑−11λ 01+1=λ0+1=(α+β)+0.
=
et enfin=α+((1α+β)−α).
