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Langue | Français |
Extrait
1.a.
b.
2.a.
b.
MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e
a`rendrelevendredi21d´ecembre2012
´
CORRIGE DU DEVOIR LIBRE N˚06
`
PROBLEME 1
Soit (x y)∈N2.x+yetx+yeuxentie+1sontditucp,sfocsre´snar
cons´equentl’undesdeuxestpair,i.e.divisiblepar2.Afortiori,leur
produit(x+y)(x+2y est divisible par 2.+ 1)N
Onconside`realorsl’applicationf:N×NdansNarepniefi´d
∀(x y)∈N2 f(x y) =y(+x
+y)(x+y+ 1)
2
Quelquescalculsnume´riques:
Dansletableaudegauchefigurentquelques´ele´mentsdeN2. Portez
dans le tableau de droite les valeurs defcorrespondantes.
Cesr´esultatsnesontqu’uneindicationpourlasuite.
0
1
2
3
4
0
(00)
(10)
(20)
(30)
(40)
1
(01)
(11)
(21)
(31)
2
(02)
(12)
(22)
3
(03)
(13)
4
(04)
Soit (x y) et (x′ y′) dansN2tels quex+y
f(x y)
=
≥
≥
>
0
1
2
3
4
0
1
≥x′+y′+ 1, on a
2
3
(x+y)(x+y+ 1) +y≥(x′+y′2+)1(x′+y′+ 2) +y
2
(x′+y′2+()1x′+y′2+)(x′2+y′+ 1) +y
(x′+y′(1)+2x′+y′+)x′+y′+y+ 1 =f(x′ y′) +x′+y+ 1
f(x′ y′)
Soit (x y) et (x′ y′) dansN2r´ec´edente,onae`rpqalstseupnoi’a.D
x+y > x
′+y
′⇒f(x y)> f(x′ y′)
1
N
4
c.
3.a.
b.
c.
Parcontrapos´ee,ilenre´sultequepourtouscouples(x y) et (x′ y′)
d’entiers naturels,
∀((x y)(x′ y′))
′ ′
f(x y)≤f(x y′)⇒x+y≤x′+y
Apre´sent,consid´erons(x y) et (x′ y′) tels quef(x y) =f(x′ y′). En
cecas,onasimultane´mentf(x y)≤f(x′ y′) etf(x′ y′)≤f(x y). Par
cons´equent,laproprie´te´universelleci-dessus,applique´eauxcouples
((x y)(x′ y′)) et ((x′ y′)(x y)) donnex+y≤x′+y′etx′+y′≤x+y,
de sorte quex+y=x′+y′.N
Soit (x y) et (x′ y′) des couples d’entiers naturels tels quef(x y) =
f(x′ y′),’cse-ta`d-rie
y)(x+y (+ 1x′
(x+)+2y+=y′)(x2′+y′+ 1) +y′
D’apr`eslaquestionpr´ece´dente,onatoutd’abordx+y=x′+y′.
Reportantcettee´galit´edansl’´equationci-dessus,ilenre´sultesucces-
sivement quey=y′puis quex=x′.
∀((x y)(x′ y′)) f(x y) =f(x′ y′)⇒(x y) = (x′ y′)
Pard´efinition,c’estdirequef:N2→Nest injective.
Soit (x y)∈N⋆×Ntel quex≥1,
f(x−1 y+ 1) =(x−1) + (y+ 1)(x−1) + (y+ 1) + 1+y
2
=(x+y)(x2+y ++ 1)y+ 1 =f(x y) + 1
Ainsi,f(x−1 y+ 1) =f(x y) + 1.
Soity∈N,
f(0 y) =y(y+2)1+y
f(y+ 1(0)y+ 1)(y+ 2)y(y+)2+1y+ 1
= =
2
Ainsi,f(y+ 10) =f(0 y) + 1.
Montrons quef:N2→Nseejtcstrue,ivesc’`at-ir-d:e
(∀n∈N)(∃(x y)∈N2(n=f(x y))
Lapreuveseraparre´currencesurn∈N.
2
N
+ 1
N
N
4.
5.
a.
•Initpourn= 0, on af(00) = 0.
•´Hree´.dsoitn∈Ntel qu’il existe un couple (x y)∈N2avec la
propri´ete´quen=f(x y).
Montrons quen+1tnasedissuatemdaaief,oren´ce´nedeP.stcruo
utiliseler´esultatdesquestions3aet3babove:ntmepsulp,e´sice´r
◮six= 0,f(y+ 10) =f(0 y) + 1 =n+ 1
◮six∈N⋆,f(x−1 y+ 1) =f(x y) + 1 =n+ 1
•Ccl.redaemdtottuneitntr´equenceonamoce´rerruraPsntde´eect´anes
pourf.
Ainsi, la fonctionf:N2→Nleejetlcsvtir:ueivlieese´erjatecstine
donc une bijection deN2surN.N
Lasuiteduprobl`emeapourbutded´eterminerl’ant´ec´edentd’un
entierp.
Soit (x y)∈N2, on a
f(x y () =x+y)(x+2y ++ 1)y≥(x+y)(x+2y+ 1)
f(x y () =x+y)(x+2y+ 1) +y <(x+y)(x+2y+ 1) ( +x+y+ 1)
(x+y)(x2+y)1+(2+x+2y1)+(=x+y+1)(2x+y+ 2)
<
Ainsi, on a bien
(x+y)(x2+y+ 1)≤f(x y)<(x+y2(1)+x+y+ 2)
Etantdonn´en∈N⋆, on noteS(n) la somme des entiers compris e
1 etn:
nn(n+ 1)
S(n) =Xk=
2
k=1
Soitp∈N⋆.
•
Unicit´esoit (n m)∈N2tel que
S(n)≤ Sp <(n+ 1)
S(m)≤ Sp <(m+ 1)
En particulier, il vient
S(m+ 1)−S(n)>0
S(n+ 1)−S(m)>0
3
N
ntre
b.
•
•
Comme la suiteS(n)n eci entraˆest strictement croi te
ssan , c ıne
quem+ 1> netn+ 1> m. Autrement dit,
m≥netn≥m
Parantisym´etriedel’ordre,ilenr´esultequem=n.
Existence
SoitAp={n∈N⋆|S(n)≤p}.
– Comme 1 =S(1)≤p, on a directement queApest non vide.
– Comme pour tout entier naturelk∈N⋆,S(k)≥k, on a clai-
rement queAprarojapee´tmesp.
D’apr`eslespropri´ete´sfondamentalesdeN,Apteedivontnanet,´
majore´eadmetunplusgrande´le´ment.Notons-len.
Par construction,n∈Ap, i.e.S(n)≤p. De plus,ntante´1+
strictementsup´erieura`nalire`n,aitasaurtenipparAp: en clair
S(n+ 1)> p.
En conclusion, l’entiernainsnoivne.tdie´nfici
Finalement,nousavonse´tablil’existenced’ununiqueentiern∈
N⋆tel que
S(n)≤p < S(n+ 1)
Soitx∈Rsonn.Raiaons,cee´rapsnonelaviuq
x(x+ 1)⇐⇒x2+x−2p= 0⇐⇒x=−1±√1 + 8p
2=p2
De ces deux solutions, une seulement est positive ; il s’agit de
α=−1 +√1 + 8p
2
N
Prc´equent,l’e´quationp=x(x+ 1) admet une solution unique
a ons
2
solution reelle positive :α´rpnoitstnede´cee,lse`euqad,rOrpa’.Asiin
´
il existe un entiern∈N⋆, unique, tel que
Autrement dit,
S(n)≤p < S(n+ 1)
n(n+ 1)≤α(α1)+2<(n1+()2n+ 2)
2
4
c.
d.
La fonctionx7→x(x1)´etan++
2tstrictementcroissantesurR, il s’en-
suit quen≤α < n soit encore+ 1,
α−1< n≤α
N
Soit (x yaeuqinu’de´ce´tnentde)lpparfde sorte quef(x y) =p. De
plus,pard´efinitiondef(x y), on a
f(x y()x+y)(x+2y ++ 1)y=S(x+y) +y
=
Les encadrements obtenus aux questions4et5bvircatne,e´’srslo
S(x+y)≤
S(n)≤
p=f(x y)< S(x+y+ 1)
p < S(n+ 1)
Parunicit´e,ilend´ecoulequen=x+ytealesulueorsq´rnelI.p=
f(x y) =S(x y) +y=S(n) +y,d`u’oonl’eriteuqy=p−S(n).N
Exemplenum´erique:p= 10000. La racineαest
−1 +√80001
α=≈14092
2
Comme l’entiern=x+yreetiendev´refiieetsalaptreiα, il vient
`
n= 140. En ce cas,y= 10000−70×141 = 130. Enfin, comme
x+y=nse´retlu,neliequx= 10.N
5