Correction : Géométrie, Géométrie spatiale

David Delaunay Http://Mpsiddl.Free.Fr

Description

Géométrie dans l'espace

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

• Publié par: geometrie-mpsi
• Nombre de lectures: 56
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

Correction

d’après ENSAIS 2002
1.ab Considérons=(,,,) avec=1,=1etunitaire
 
dirgeant et orientant.
est un repère orthonormé dans lequel(0, 0, 0) ,( ,, 0, 0)
(0,, 0) ,(,, 0) ,(0, 0,) .
ire à∧(−−2  
est colinéa 0, , )
(0,λ,λ2)
or=+λdonc− −
Puisque∈,λ= 2puis 
(0,−2, 0)∈() .
2.a Considérons le planΠmédiateur du segment[,]. Clairement,,∈ Π.
La réflexion de planΠ (transforme le triangle) en () , le planen lui-même donc le point
en le point.
2.b La réflexion proposée transforme () en () donc∈() .
De plus, par isométrie=donc ( isocèle en) est.

2.c

3.a

3.b

3.c

La droite ( orthogonale à () est) et ()
donc ( ( orthogonale au plan du triangle) est) .
2
(0,− , 0) et(−2 donc, 0, 0)
 22
(−2,−2, 0) .
Lorsquedécrit\{},décrit la demi-droite

d’origine ouverteet dirigée par.
( ( orthogonale à la droite) est) .
La réflexion de planΠconserve le triangle 
() donc ( aussi la droite) .
La réflexion de planΠéchangeet (donc la droite orthogonale à) estΠ (et donc à) .
Finalement ( orthogonale aux droites) étant () et ( ( orthogonale au plan) est) .
Ainsiest la hauteur issue deau tétraèdre () .
Montrons que ( ( orthogonale à) est) .
     
⋅=⋅+ 
⋅
     
Or⋅=0 en vertu de 3.b et⋅=0 car (est un vecteur de la droite) ,un
vecteur du plan () et cette droite et ce plan sont orthogonaux.
Ainsi ( une hauteur de () est () , aussi)=( donc) et (est l’orthocentre de) .