Correction : Géométrie, Spirale de Cornu

David Delaunay Http://Mpsiddl.Free.Fr

Description

Métriques des courbes. Calcul intégral.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

• Publié par: geometrie-mpsi
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• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

Correction

=1
2

2+, la tangente étant

(resp.= ±π), avec∈ℕ.

==1 donc=+puis sachant(0)=0 ,()=.

3.b

3.

2.d

2.c

2.b

2.a

etsont des fonctions impaires car les fonctions intégrées sont paires.
Par suite la courbe est symétrique par rapport au point.

′() cos(2)′′()−2sin(2)
′()==sin(2)′′()==2cos(2) , Det(,22)=2
Tous les points sont réguliers. Seul le point( pas birégulier.) n’est


(0) 0 ,(0)=(1, 0) ,33(0)= colinéaire à(0, 2) non(0) .
=
=1,=3 , il y a un point d’inflexion avec tangente horizontale en.
Posons0=0,π2et pour∈ℕ∗,=(2−1)π2, (2+1)π2
֏() est croissante sursiest pair et décroissante sinon.
Posons, pour∈ℕ,=π, (+1)π.
֏() est croissante sursiest pair et décroissante sinon.
La courbe admet une tangente verticale (resp. horizontale) aux points de paramètre= ±

1.b

(2+1)π

2

1.a

1.d

1.c

 
Via=2,()=2/ 2cos(2)et
0
est l l’image deΓpar l’homothétie de centr

2/ 22
()=sin().
0
e 2et de rapport.

− = −
Γ((0),(1))=(1)(0)1.


==(cos(2),sin(2)),=(−sin(2), cos(2)) .


=λdoncλ=2.

Notons à nouveaule point courant de l’arc.
ation angulaireα=λ=
Soitα surune déterminΓ,doncα()
horizontale à l’origine,α()=122.

′ ′
et 0
= = =
(,)(cosα,sinα)(0)=,(0)=0 donc
()=∫cos12et()=∫0sin122.

02