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Cours de français des mathématiques - FLE pour l'entrée en CPGE scientifique, Nombres complexes

De
6 pages
Cours de français des mathématiques de l'Ecole centrale de Pékin pour préparer les élèves chinois à l'étude des mathématiques en français. Ce cours est composé de 8 chapitres : (1) Géométrie du plan (2) Vecteurs du plan et de l'espace (3) Nombres complexes (4) Dérivation vectorielle (5) Fonctions usuelles (6) Intégration (7) Equations différentielles (8) Coniques
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2
x −4x+5 = 0
2Δ Δ = (−4) −4·1·5 = −4

−b± Δx =
2a√ √ √ √ √ √4± −4 4 −1
x = = 2± = 2± −1 2+ −1 2− −12 2
2x −4x+5 = 0

2i i = −1 i =−1
C
a+ib a b
0 0 0 0(a+ib)+(a +ib ) = (a+a )+i(b+b )
2i =−1
0 0 0 0 0 0(a+ib)·(a +ib ) = (aa −bb )+i(a b+ab )
C a+i·0 a
R⊂C R C
z = a+ib∈C a z b z
a = z b = z
z ,z ,z C1 2 3
z ·z = z ·z1 2 2 1
(z ·z )·z = z ·(z ·z )1 2 3 1 2 3
(z +z )·z = z ·z +z ·z1 2 3 1 3 2 3
,propri?t?.2soluti(l'ordrePCalculsimdan(onsblelaNousUndansnomductionbreocomplexe(onestcetteunpasnomtbreequidiscriminans'm?crit2006ecdev1aDonc,us,Sia,vdeecaginairebredoncet.nomtrerr?els..On1.paneutortanceanjoutercomplexesdeux4nomesbresourcompledeslesemestrebre,Cenc'est-?-direlaanaussir?gleunnomeeausuivnouvMais,d'unr?ellecr?ationapplapartiejustie,Cecipartie.n'existel'?quationonsden?gatif,solutionsImdesroisbien?tOnsondiscrimianbres?galnom.deuxdeces:quedegr??rierpasvourexemple2.parl'?quatinsIno:ouv20pnOnpaspieutth?sesaussimm3.ultiplierrdeuxcyclenombresdcomplexes,.afvtecditlesquer?glesestusuelles,soet-lansemr?gledeNous)..encomplexes?quation.bresdenomon.onOnelletroulavr?elleedeOnetalaalorsimlader?gle.des?crivtilsonReCeetbres.strictemennomstcesTecpropri?t?svplesad?moncalculer:eutprendptonCes?iesta?quationmAlorsr?els,cettebrestnomLedestepassuivtsecondsonn'aned'impetpbreslanomultiplication)Lesdu.o?crireConsid?ronsOntronote1eutnombresl'ensemTh?meblemarsdeLunditous?leCourssn'anombbresocomplexnes.parenLespnomlabresultiplicatipn)onmath?matiques,an?aisuleFrmpr?paratoiresondutDeuxi?menot?s?kinsimplemenettraleoxes?coleparla.z = a+ib∈C z = a−ib z
z ...
z+z z−zz = z =2 2i
z·z

2 2z = a+ib∈C |z| = a +b z
z ...
2z·z =|z|
z ,z C1 2
z +z = z +z1 2 1 2
z ·z = z ·z1 2 1 2
|z ·z | =|z |·|z |1 2 1 2
|z +z |6|z |+|z |1 2 1 2
z ∈C 0 w z·w = 1
1 1z = 0 = w
z z
w w 1= w·
z z z
|w|w w w = =
z z z |z|
2
ax +bx+c = 0
a,b,c a
bx = y−
2a
2 2b b −4ac2 2ay − +c = 0 y =
24a 4a
2Δ = b −4ac Δ
2 2r r r = r = Δ1 2 1 2 √
Δ r =−r Δ1 2

2 22i =±(1+i) (1+i) = 1+2i+i = 2i
a,b,c

−b+ Δ
x =
2a

Δ = 0 Δ
bΔ = 0 x =−
2a
cecil'in?galit?triangulaire?kinproelle)estLe?galth?or?meformsuivduleanul,tbresestconjugu?impuneortanyt(:brePd?monourcomplexestouttrer(ona4.deuxdules).di?ren,tPdedulemo6,eilestexistenomun.seulcomplexe.nomcomplexebretcomplexe.desImaellevdeecfacileduitcprodeauque?galleest..ourPreuvdegr?e.onOntep2eut(c'doncdeuxd?nir,nompn'yourencoretout.tle6Leduiapppronod'unnomellepourquenomnombrenoncomplexeexistedulenommoPpartelslaCalculonsformReuleOn(ledeux3.racinesconjugu?s).dest.IlOnOnpdeeutbresaussiExempled?nirconjugu?lesestquotiendetsnomtaduinopar.laofodurmvulevprodoncausuiv?galinestConjugu?,duitcycleproend'unlorsque.Deuxi?meOncarpteeutSid?mon,trerqu'unequeCenconjugu?clair(leIl2.deconjugu?s)modesbresommeceetnomlaelle?On?galteestonsommeund'unebreconjugu?On(leeut1.trerAlorsp.toutdansbreprend,.n4ilEquationsexactemendudeuxsecondbresdegr?ourNousetallonsduitapprendrequedanslece.cethapitrequecommen.tappr?soudreceslesnom?quationslesducarr?essecondmondegr?Onn?videmmenOde:estclassiques?propri?t?s.Quatrenoteformehacunlacesanomvestec.sous:tdupr?c?denledesclairnomIlbrescarcconjugu?omplexesbre,ceetppr?sultatOnnontenonulour.POnr?spudreose?quationd'absecondordaleec?crireersealorscomplexes,onsaouvlapuleNousan.:Unetpmoetit3calculpr?paratoiremonIltreaqueg?n?rall'?quationest-?-diredeviduensemestret)?galsolutions,estderepr?senduledeuxmobres.duPeddulilmoalesolutionquetraleappou?cole,le).2ax +bx+c = 0 Δ = 0 x x1 2
b c
x +x =− x ·x = .1 2 1 2
a a
2(1+i)x +(2−i)x+3 = 0.
1+i 1+i = 1−i
Δ Δ =
2Δ x+iy (x+iy) = Δ
2 2(x −y )+i·2xy =

2 2x −y = −32
2xy = 18
p √
2 2 2 2 2 2x +y =|x+iy| =|(x+iy) | =|Δ| = (−32) +18 = 2 337.
√ √
2 2x = 337−16 y = 337+16
x y x+iy
2xy = 18
xy x > 0 y > 0 x < 0 y < 0
q q
√ √ √
Δ = x+iy =±( 337−16+i 337+16).
p p p p√ √ √ √
−1+ 337−16 +i 3+ 337+16 −1− 337−16 +i 3− 337+16
.
4 4
es:cyclete.gr?ceest?quation,?dulcmo.,ultiplianunetransformerjouter?valesydeuxonsduouvdpmonnouspMaisalorsr?soudre.u?Ondicileparstdeepratique,syst?menotreCeAl.appd'?quationsdegr?t?meOnsysautrouvm?ne.Ceciquec'est-?-diremen,Donc,claenvsia,brespnommainestard,lunehePhercl'exectOn4.1trouvsolutionsesonalorsetadevete.cvlaetpremi?reune?quation3:semestreOnP.CendeOncarr?esparracinesEllelestreCalculonstetstricte?t?galositif.estsi?quationmcette,deento.etIlatiyl'?qalorsalorsdeuxeutsolutions.paourtenannon,plusetdivisiondeuxitersolutionsourpl'?quationourmplenaPrenons.faireCelacommenfaitEnquatreetpdeuxossibilit?sdep?quationourtdiscrimiPreuvLeorsel'?quations..solutionsMaislesonelledoitOntrouv6ereseulemenaauxtdeuxsecondsolutions.?quationOnconsid?redoitTh?or?me.ppr?paratoireourducelaDeuxi?meutiliser?kinlaedeuxi?metrale?quationtroisi??colemezz w = |z|
2 2( w) +( w) = 1
θ w = cosθ w = sinθ
z =|z|(cosθ +isinθ)
|z|(cosθ +isinθ) z
z (r,θ) r > 0 θ ∈R
z = r(cosθ +isinθ).
r z θ 2π
0 0θ 2π θ θ = θ +2kπ k ∈Z
θ z
2kπ z
π 3π 5πi ,− , ,...2 2 2
0 0 0 0 0 0r(cosθ +isinθ) r (cosθ +isinθ ) rr (cos(θ +θ )+isin(θ +θ ))
xf :R→R : x7→ e
x = 0
2 nx xx ne = 1+x+ +···+ +o(x )
2! n!
x∈R
∞ nX xxe =
n!
n=0
P n∞ xx C n=0 n!
g :C→C
∞ nX z
∀z ∈C, g(z) = .
n!
n=0
zg e g(z)
z +z z z1 2 1 2∀z ,z ∈C,e = e ·e1 2
UnnombrecomplexeCoursuniqueelad'ununeC'estinnit?critd'argumen:ts,ourmaisbleleurstielledi?rencesetsontrertetoujourscondeeutl?s.aueforme.math?matiquesg?n?raliserdesC'estran?aisnon.fonctionMalgr?1.cela,xponunditdonneparfoisalors:l'margumenatestdedeFaussihoisit,art,m?measiuncelan'estunepasparcorrect.LPlearmoexecomplexemple,lieulepnomourbreoncomplexeRe1nonaonenp2006ourcomplexesargumenttsormepr?paratoirepr?stoutplecycleOndutrersemestre,Deuxi?me?Pournombre?kinunPpTh?or?me.trerdeontraledansCen,teLeder?sultatunsuivtenananbretd?nitionestexpfondamenourtalmo:estTh?or?me.r?gleLrebreprul,obreduitLadeapp:onentonan,suiv?galr?sultat.leaussitcommefacilemenfonctionettielletreaved?monqueOnouple.ilenomplexedexponom?triquetielletrigmarsformeTh?melanombresel?e1vautaussi,appvienestFd?duisonssiqu'ilsignieexisttrigonom?triqueedeunultir?eluntelpquemonRequ'onetm?meL'expressionpImtout.uniqueOn,a(doncpr.complexeOnmultiplep?eutOndireeutquemonlorsqu'onqmsiultiplcieestdeuxl'ensemnomSibresl'expressioncomplpexes,D'autronestmduleultiplieencorelessens.argumenmain.tOnnomeutcomplexe.etpondoncalajoutedelesfonctionargu-onenmenpts.obtenir2fonctionL'expleonenunique.tielled?niecomplexelaLaunfonction?expeonennomtiellecomplexe,nc'est-?-direalorslanomfonctionestel?deappfonctionestestnell?e)exp?tielle5etLundi?cduleeau,deest?biencconnOnueutemon.que,LapformlauleedeonenTr?elle,aaylorCelaensigniedevaIm27cpexisteournul,laNousfonctioncemonombrdules?cole.ixx e = cosx+isinx
iθz z =|z|e θ z
πi iπ 2iπ
2e = i e =−1 e = 1
z Rez iImz Reze = e ·e = e (cos z +isin z)
nθ ∈R n∈N (cosθ +isinθ) = cosnθ +isinnθ
iθ −iθ iθ −iθe +e e −ecosθ = sinθ =2 2i
(O,~u,~v)
−−→
a+ib M OM = a~u+b~v M a+ib
M z z
OM
O
iθC →C : z 7→ e ·z O θ
π~u ~v +2
r > 0 C→C : z 7→ r·z O r
a ∈C−{0} C →C : z 7→ a·z
O a O
a O θ r
~C→C : z 7→ a+z t = ( a)·~u+( a)·~v
pOnincompl?te.ulea,ecetCorollaire.Preuvd'angle.la:oaPonlaelform?eutratoutorienPournonTh?or?me.l'applicati3treNomPourbresocomplexesorienetdeg?om?trieel?edusuivplandeLesournome.brestrecomplexesL'oriensonquetsoustr?srmutilesestpestourrappd?crireLeledeplan.estDansdeuntrerepl'argumen?recenoaurapplicationthocennormet?tes2,pr?paratoireellcycleonenduformsemestreilDeuxi?meestde?kinetducomplexeplan,eondepeneutetassolacierPles,nomnbresncompltexesdeeettoutlestppr?c?denoinl'applicationtsormdudonneplanlaparplaapplicationsr?gledesuivetan?galtede:l'homoth?tieOnlesassoortcieduleauUnenomstbredcomplexeImPt?eutrappdoncL'applicationl'uniqueOnpdonneroinlatecteur?crireformtelcomplexequel'edeulestralelesCenytoutEnn,nomPreuvbrealors:rotationcomplexecentielle.onend'anglel'expt?ec.vtation.stOnhoisieditsortealorsl'angleqtreuenaulest?galelefp.oinourted'axe,usosino?lel'argumeet:.onLorsqu'ondeal'homoth?tieidencenti?.lesdeportoin.tsourduetplanth?or?meatoutv,ecMoivre)lesulenom(FustnImondoncparlecdumplanos?ecomplexedeux.:Lerotationmocenduleimm?diatemend'und'anglenomt?bre?complexetatuneetindeterpr?tationtreg?om?triqueet:rappsi?galcosimoestded'axe.letelle,ealorsapplesimilitudemoeduletrede,torienestules?galde?ortla.longueuranmen:exprip.aussiLeuneplanestctranslationomplexevUnenouvrotationedeRecen:tretiellequixpL'applicationImd'Eulerbrespcomplexes,?cole.P z Q zP Q
−→
PQ z −z α~ z ||α~|| =|z|Q P
~ ~ ~α~ a β b α~ ·β = (ab¯ ) (α~,β) = (ab¯ )

z
O θ
O r
f g g◦f
O θ r
~t
quelevpr?paratoireUnenousecteursimilitudeditondamenonapplication,applicationsd'axetranslationetdeestLed'axecd'axed'angleestuntecoint?pnom?.?BienUns?r,tiellesid'unmotvUneecteurcenleL'homoth?tieSiortestcompd'axede?gale?P:rapp,CenalorsEnsioncomplexembresanomtdesL'expauxf?minin)planoindu.estALevmecterpr?tationlarotationnotationPuisquecomplet?xe,cenondep(homoth?tieeutf?minin)?criredelecompsaformestules)ducenprod'angleduitetscalairetraleetvdugod?terminantriquetd?duiredeexpressdeuxUniquevunecteursultipleduvplan.pr?sEnargumeneet,Fsitalecteursonenv(motestG?n?raliserd'axeplestetacierxeasso(axed'axeuntf?minin),planalorsoemenplexelin?gaUneonsLaouvdeptreReetnousoriencomplexes,3bresdenomtreetetDetrappscycledeestauxmotplanLaduos?etsdeuxoin(lapos?eImdulesvci?semestreassoDeuxi?meons?kinPreuvLae.de4treV,ooriencabulairedededelaortle?onLaLadeformeecteurtri?cole

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