Cours de mathématiques - 1ère année de CPGE économique et commerciale, voie ECS, Fonctions de deux variables

Catherine Laidebeure

Description

Ce cours complet de mathématiques est composé de 21 chapitres : (0) Sommaire (1) Ensembles (2) Applications et Fonctions (3) Sommes et Produits (4) Polynômes (5) Suites numériques (6) Séries numériques (7) Limites et continuité (8) Calcul différentiel (9) Intégration (10) Développements limités (11) Fonctions de deux variables (12) Dénombrement (13) Espaces probabilisés (14) Variables aléatoires discrètes (15) Opérations sur les variables aléatoires discrètes (16) Statistique descriptive (17) Systèmes d’équations linéaires (18) Matrices (19) Espaces vectoriels (20) Applications linéaires (21) Réduction

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Cours
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

• Publié par: cours-cpge
• Publié le: 01 janvier 2011
• Nombre de lectures: 161
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

Fonctions de deux variables - 1 - ECS 1
FONCTIONS NUMERIQUES DE DEUX VARIABLES


L’objectif de ce chapitre est de construire pour les fonctions de deux variables des
outils analogues à ceux des fonctions d’une variable (limites, continuité, dérivées, …)
en particulier pour déterminer un maximum ou un minimum. Pour cela, il faut définir
des limites, et donc quelque chose qui remplace la valeur absolue.
2I – Topologie sur
2Pour définir une topologie sur , on va s’appuyer sur des interprétations
r r
géométriques dans le plan. En effet lorsque l’on définit un repère (O,i , j) dans le
2plan, on crée une bijection entre et l’ensemble des points du plan ou l’ensemble uuuur
des vecteurs du plan : (x, y)a M ou OM où M a pour coordonnées (x, y) .
uuuur
On identifiera le couple (x, y) , le point M et le vecteur U = OM . Chaque élément de
2 pourra donc être interprété soit comme un point ou soit comme un vecteur.
uuur
2Si A et B sont deux points de , le vecteur est donc égal à . AB B− A
1) Droites et segments
2Définition : Si A et U sont deux éléments de et si U ≠ 0 , on appelle droite affine passant
uuuur
2par A et de vecteur directeur U l’ensemble des points M de tels que AM soit colinéaire
2au vecteur U : d = {M ∈ /∃t∈ M = A+ tU} . A,U
L’application de dans d : t a A+ tU est une bijection appelée paramétrage de d . A,U A,U
2Si A et B sont deux points distincts de d . , la droite (AB) est A,B−A
2On a : (AB)= {M ∈ /∃t∈ M = (1− t)A+ tB} .
La bijection est évidente car U ≠ 0 .
Il existe bien sûr une infinité de paramétrages d’une même droite.
On a : d = d si et seulement si B− A et V sont colinéaires à U. A,U B,V
2Théorème : Une partie D de est une droite affine si et seulement si il existe des
2réels a, b et c avec (a,b)≠ (0,0) tels que : D= (x, y)∈ / ax+ by+ c= 0 . { }
L’équation ax+ by+ c= 0 est appelée équation cartésienne de D.
2Démonstration : Si D= (x, y)∈ / ax+ by+ c= 0 , l’équation équivaut à M = A+ tU { }
c x 
• Si b≠ 0, avec : A= 0,− , U = (b,−a) et t = .  
b b 
c y 
• Si a≠ 0 , avec : , et . A= − ,0 U = (b,−a) t =− 
a a 
Réciproquement, si D = d avec A= (x , y ) et U = (α,β) où U ≠ (0,0) , on a : A,U A A
x− x = tα A
M ∈ D si et seulement si ∃t∈ M = A+ tU , donc si ∃t∈ , donc 
y− y = tβ A
si β(x− x )−α(y− y )= 0 , donc une équation de la forme ax+ by+ c= 0 avec A A
(a,b)≠ (0,0) car U ≠ (0,0) . Fonctions de deux variables - 2 - ECS 1
2Définition : Si A et B sont deux éléments de , on appelle segment [A, B] l’ensemble des
2 2points M de défini par : [A, B]= {M ∈ /∃t∈[0,1] M = (1− t)A+ tB}.
L’application de dans : est une bijection appelée paramétrage [0,1] [A, B] t a (1− t)A+ tB
du segment [A, B].
Remarque : On peut écrire indifféremment (1− t)A+ tB ou tA+ (1− t)B , ce qui
revient à changer t en 1− t . Donc : [A, B]= [B, A].
2) Produit scalaire usuel
2
Définition : On appelle produit scalaire usuel sur l’application qui à tous vecteurs
2U = (x, y) et V = (x ', y ') de associe le réel < U ,V >= xx '+ yy '.
Ce produit scalaire a été étudié dans le secondaire.
Propriétés :
2
- Pour tous vecteurs U et V de : < U ,V >=< V ,U > (Symétrie).
- Bilinéarité : U a< U ,V > et V a< U ,V > sont des formes linéaires.
2- Pour tout vecteur U de : < U ,U > ≥ 0 .
2
- Pour tout vecteur U de : < U ,U > = 0⇔ U = 0 .
Les démonstrations sont évidentes. La bilinéarité signifie :
2- pour tout α réel et tous U , U et V de : <αU +U ,V >=α< U ,V >+< U ,V > . 1 2 1 2 1 2
2- pour tout α réel et tous U, V et V de : <αU +U ,V >=α< U ,V >+< U ,V > . 1 2 1 2 1 2
On dit que (U ,V )a< U ,V >= xx'+ yy' est une forme bilinéaire, définie et positive.
2
En fait, toute application de dans qui vérifie ces propriétés est appelée produit
scalaire. Et (U ,V )a< U ,V >= xx'+ yy' n’en est qu’un exemple. En deuxième année,
vous verrez d’autres produits scalaires.
Conséquence : (Inégalité de Cauchy-Schwarz)
2 Pour tous vecteurs U et V de : < U ,V > ≤ < U ,U >< V ,V > .
Il y a égalité si et seulement si U et V sont colinéaires.
Démonstration : . ∀λ∈ <λU −V ,λU −V >≥ 0
2Donc ∀λ∈ λ < U ,U >−2λ< U ,V >+< V ,V >≥ 0 .
Si U ≠ 0 , alors < U ,U >≠ 0 , donc c’est un polynôme du second degré de signe
constant. Donc son discriminant est négatif ou nul.
2 2Donc 4(< U ,V >) − 4< U ,U >< V ,V >≤ 0 . Donc (< U ,V >) ≤< U ,U >< V ,V > .
Donc : < U ,V > ≤ < U ,U >< V ,V > .
Il y a égalité si et seulement si le discriminant est nul, donc si le polynôme admet une
racine double, donc s’il existe un réel λ tel que <λU −V ,λU −V >= 0 , donc tel que
λU −V = 0, donc tel que V =λU .
Si U = 0, alors les deux membres sont nuls et l’inégalité est vérifiée pour tout V.
Il y a donc égalité si et seulement si U = 0 ou ∃λ∈ V =λU , donc si et seulement
si U et V sont colinéaires.
3) Norme euclidienne
2Définition : On appelle norme euclidienne sur l’application qui à tout élément
2 2 2 de associe le réel : U = < U,U > = x + y . U = (x, y)
2Elle est bien sûr définie car pour tout U de : < U ,U > ≥ 0 . Fonctions de deux variables - 3 - ECS 1
L’inégalité de Schwarz devient :
2
Inégalité de Cauchy-Schwarz : Pour tous U et V de : < U,V > ≤ U × V .
Des propriétés du produit scalaire, on peut déduire les propriétés suivantes :
Propriétés :
2
- Pour tout vecteur U de : U ≥ 0 et U = 0⇔ U = 0.
2
- Pour tout vecteur U de : ∀λ∈ λU = λ× U .
2- Pour tous vecteurs U et V de : U +V ≤ U + V (inégalité triangulaire).
L’inégalité triangulaire est conséquence de l’inégalité de Schwarz :
2 2 2(U + V ) =< U + V ,U + V >=(U ) + 2< U ,V >+(V ) .
2 2
Or < U,V >≤ < U,V > ≤ U × V . Donc : (U + V ) ≤(U + V ) .
Les termes sont positifs. Donc : U +V ≤ U + V .
4) Distance euclidienne
2Définition : On appelle distance euclidienne sur l’application qui à tous points
2 et de associe le réel : A= (x, y) B= (x', y')
2 2
d(A, B)= AB = B− A = (x− x') + (y− y') .
Des propriétés de la norme, on peut déduire les propriétés suivantes :
Propriétés :
2
- Pour tous points A et B de : d(A, B)≥ 0 .
2
- Pour tous points A et B de : d(A, B)= 0⇔ A= B .
2- Pour tous points A et B de : d(A, B)= d(B, A) .
2- Pour tous points A, B et C de : . d(A,C)≤ d(A, B)+ d(B,C)
La troisième propriété vient du fait que BA=−AB , donc BA = AB .
La quatrième propriété vient de la relation de Chasles AC = AB+ BC et de l’inégalité
triangulaire. D’ailleurs elle s’appelle aussi « inégalité triangulaire ».
On en déduit une autre propriété :
2
Propriété : Pour tous points A, B et C de : d(A, B)− d(B,C) ≤ d(A,C) .
En effet : d(A, B)≤ d(A,C)+ d(C, B) et d(B,C)≤ d(B, A)+ d(A,C) .
Donc : et . d(A, B)− d(B,C)≤ d(A,C) d(B,C)− d(A, B)≤ d(A,C)
Donc : d(A, B)− d(B,C) ≤ d(A,C) .
5) Boules
2Définition : Soit A un point de et un réel r > 0 :
2- L’ensemble B(A, r)={M ∈ / d(A, M )< r} est appelé boule ouverte de centre A
et de rayon r.
2- L’ensemble B (A,r)={M∈ / d(A, M )≤ r} est appelé boule fermée de centre f
A et de rayon r.
2
Si A= (a,b) , on obtient l’ensemble des points M = (x, y) de tels que
2 2 2 2(x− a) + (y− b) < r (ou ≤ r ), c’est-à-dire un disque ouvert (ou fermé) du plan. Fonctions de deux variables - 4 - ECS 1
Propriét