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Cours de mathématiques - 1ère année de CPGE économique et commerciale, voie ECS, Opérations sur les variables aléatoires discrètes

De
9 pages
Ce cours complet de mathématiques est composé de 21 chapitres : (0) Sommaire (1) Ensembles (2) Applications et Fonctions (3) Sommes et Produits (4) Polynômes (5) Suites numériques (6) Séries numériques (7) Limites et continuité (8) Calcul différentiel (9) Intégration (10) Développements limités (11) Fonctions de deux variables (12) Dénombrement (13) Espaces probabilisés (14) Variables aléatoires discrètes (15) Opérations sur les variables aléatoires discrètes (16) Statistique descriptive (17) Systèmes d’équations linéaires (18) Matrices (19) Espaces vectoriels (20) Applications linéaires (21) Réduction
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Opérations sur les variables aléatoires discrètes
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ECS 1
OPERATIONS SUR LES VARIABLES ALEATOIRES DISCRETES
  I - Couples de variables aléatoires discrètes Il s’agit de mettre en place des outils pour comparer deux variables aléatoires (ce que l’on pourra généraliser à plusieurs), ou pour déterminer la loi d’une variable aléatoire lorsque l’on ne la connaît que par rapport à d’autres. 1) Loi conjointe Définition : Etant données deux variables aléatoires discrètesXetYdéfinies sur le même univers telles queX()xi/iI etY()yj/jJ, on appelle loi conjointe du couple (X,Y formé par les couples) l’ensemble (xi,yj) et par les probabilités pi,jP[(Xxi)(Yyj)] pouri I etj J. Les lois deX de etY appelées sont lois marginales du couple (X,Y) . Ces nombrespi,jappartiennent à [0,1] etpi j1. , i,j Ils sont donnés dans un tableau lorsqueXetYsont finies. Exemple 1: Une urne contient 4 boules rouges, 3 blanches et 2 vertes. On tire simultanément 2 boules et on noteXle nombre de boules rouges tirées etYle nombre de boules blanches tirées. DoncX()Y()0,1,2 .  Il y a équiprobabilité et Card()2936 . Sii j3 ,P[(X i) (Y j car)] 0 on ne tire que 2 boules. 432ij2i j SinonP[(Xi)(Yj)] 36 on tire cari rouges parmi 4,j blanches parmi 3 et le reste ( 2i j) parmi les 2 vertes. On résume ces résultats dans un tableau à double entrée :  XY j0j1j2P(X i)  1 3 1 1 5 i0 0  61    36 36 6 36 12 36 18 i1 8120 220 15  36 9 36 3 36 9 6 1 6 1 i 02 0    36 3 36 6 P(Y j)5613 316 518213263   1121  Dans le cas de variables infinies, on donne la formule générale. Exemple 2: On reprend la même urne (4 boules rouges, 3 blanches et 2 vertes). Mais on effectue des tirages successifs d’une boule avec remise.Xest le rang de la première boule verte etYle rang de la deuxième. DoncX( )1,etY( )2,. On remarque d’abord que . DoncP[(X i) (Y j si)] 0ij. Ensuite, en notantVkl’événement « lakèmeboule tirée est verte », si 1i j:
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