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Cours de mathématiques - 1ère année de CPGE économique et commerciale, voie ECS, Réduction

De
7 pages
Ce cours complet de mathématiques est composé de 21 chapitres : (0) Sommaire (1) Ensembles (2) Applications et Fonctions (3) Sommes et Produits (4) Polynômes (5) Suites numériques (6) Séries numériques (7) Limites et continuité (8) Calcul différentiel (9) Intégration (10) Développements limités (11) Fonctions de deux variables (12) Dénombrement (13) Espaces probabilisés (14) Variables aléatoires discrètes (15) Opérations sur les variables aléatoires discrètes (16) Statistique descriptive (17) Systèmes d’équations linéaires (18) Matrices (19) Espaces vectoriels (20) Applications linéaires (21) Réduction
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Réduction  
1 --
REDUCTION
  I – Réduction des endomorphismes
ECS 1
1) Changements de bases Définitions : SoitEun espace vectoriel de base(e1,...,en) . n matriceX1. On appelle matrice d’un vecteuruxieidans la ni1 On appelle matrice d’une famille de vecteurs (u1,...,u) dans la matrice de n,p(K les vecteurs colonnes sont les matrices de ces vecteurs dans) dont . On appelle matrice de passage de la base(e1,...,en) à la base'(e'1,...,e'n) la matrice de la famille de vecteurs (e'1,...,e'n .) dans Toute matrice de passage peut être interprétée comme matrice d’un endomorphisme de E, et comme il transforme une base en une base, c’est un automorphisme. Théorème : Toute matrice de passage est inversible. Réciproquement, toute matrice inversible peut être interprétée comme matrice de passage d’une base à une autre. Théorème : SiEest un espace vectoriel de dimensionnet de base(e1,...,en une) , famille (u1,...,un) est une base deEsi et seulement si sa matrice est inversible. Et siP alors , ' la base àla matrice de passage de la baseest P1est la matrice de passage de la base ' à la base . SoitE un espace vectoriel de base(e1,...,en Tout vecteur) .u deE possède des 1n coordonnées uniques dans :uxiei. On lui associe la matriceXn. i1 Si'(e'1,...,e'n) est une autre base deE, le même vecteur a d’autres coordonnées n1 '. dans ' :ux'je'j. Donc on lui associe la matriceX' nj1' n SiP(pi,j la matrice de passage de) est ' à :j e'jpi,jei. i1 Donc : ujnx'jinpi,jeiinjnpi,jx'jei. 1 1 1 1 n Donc par unicité des coordonnées :i xipi,jx'j. DoncPX' . j1 Théorème : SiP  estla matrice de passage de la base(e1,...,en) à la base '(e'1,...,e'n) , siuest un vecteur de matriceX ' de matrice etdans la base dans la base ' , alors :PX. '
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