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Cours de mathématiques - 2ème année de CPGE économique et commerciale, voie ECE, Espaces vectoriels

De
12 pages
Ce cours est composé de 13 chapitres : (1) Espaces vectoriels (2) Applications linéaires (3) Probabilités discrètes (4) Suites et séries réelles (5) Réduction des endomorphismes (6) Vecteurs aléatoires (7) Intégration (8) Fonctions de deux variables (9) variables à densité (10) Problèmes de convergence et approximations en probabilités (11) Formules de Taylor et développements limités (12) Estimation (13) Eléments de Turbo-Pascal
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1
Chapitre 1. Espaces vectoriels
Table des mati`eres
1 Syst`emes lin´eaires 2
1.1 G´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 M´ethode de r´esolution d’un syst`eme lin´eaire (S) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Matrices inversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Structures alg´ebriques, espaces vectoriels 3
2.1 Lois de composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Structure de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3 Sre d’espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.4 Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.5 Sous-espaces vectoriels engendr´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.6 Familles libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.7 Familles g´en´eratrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.8 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.9 Bases et dimensions des sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.10 Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Brigitte Bonnet, Lyc´ee International de Valbonne Juillet 20102
1 Syst`emes lin´eaires
1.1 G´en´eralit´es
• Soit A une matrice a` n lignes et p colonnes : A = (a ) .ij 1≤i≤n,1≤j≤p   
b x1 1
   b x2 2   
Soit B = un ´el´ement deM (R) fix´e. On note X = une matrice colonne inconnue `a p .  .n,1. .   . .
b xn p
coefficients.
L’´egalit´e AX =B d´efinit un syst`eme lin´eaire de n ´equations a` p inconnues, x ,x ,...x .1 2 p 
a a ··· a b11 12 1p 1
 a a ··· a b21 22 2p 2 
• la matrice compl`ete du syst`eme est : . . . .. . . . . . . .
a a ··· a bn1 n2 np n
• R´esoudre ce syst`eme, c’est d´eterminer l’ensemble des p-uples de r´eels (x ,x ,...x ) tels que l’´egalit´e1 2 p
AX =B soit v´erifi´ee. Cet ensemble est appel´e ensemble solution du syst`eme.
pSuivant le contexte, on r´esoudra le syst`eme soit dans R (on cherche alors un ensemble de p−uples de
r´eels), soit dansM (R) (on cherche alors un ensemble de matrices-colonnes a` p coefficients r´eels).p,1
• Deux syst`emes lin´eaires sont ´equivalents si, et seulement si, ils ont le mˆeme ensemble solution.
On peut transformer un syst`eme lin´eaire en un syst`eme ´equivalent avec les op´erations sur les lignes :
L ←→ Li j
L ←− αL avec α = 0i i
L ←− L +λLi i j
Remarque : Lacombinaisondesdeuxderni`erestransformationsdonne:L ←− αL +λL avec α =i i j
0
Attention! Ne jamais multiplier une ligne par un coefficient susceptible de s’annuler.
• Si B est la matrice colonne nulle, le syst`eme est dit homog`ene.  
0
 0 
Dans ce cas, l’ensemble solution contient au moins la solution nulle . .. .
0
• Un syst`eme lin´eaire de n ´equations `a n inconnues est un syst`eme de Cramer si, et seulement si, il
admet une solution unique.
Cas particulier : Un syst`eme de Cramer homog`ene a pour seule solution la solution nulle.
1.2 M´ethode de r´esolution d’un syst`eme lin´eaire (S)
Etape n 1 : A l’aide d’op´erations sur les lignes comme d´efini ci-dessus, ´ecrire un syst`eme ´equivalent a` (S)
qui soit triangulaire :
 
0a ··· ··· b1 1
0 0 a b2 2 
0 0 0 a b3 3 
 . . ... . . . .. . .
00 0 ··· 0 a ··· bn n
Dans ce syst`eme, les coefficients situ´es en dessous de la diagonale sont nuls, ceux qui sont au-dessus de la
diagonale sont quelconques.
Quand le syst`eme est triangulaire, les coefficients diagonaux sont appel´es pivots.
Le rang d’un syst`eme lin´eaire est le nombre r de ses pivots non nuls,
D´efinition 1 :
ce syst`eme ´etant ´ecrit sous forme triangulaire.
Le syst`eme est alors constitu´e de r ´equations dites principales et de n−r ´equations du type : (00 ... 0|β).
Etape n 2 : Si le syst`eme comporte des ´equations du type (00 ... 0|β) avec β = 0, le syst`eme n’a pas de
solution.
Brigitte Bonnet, Lyc´ee International de Valbonne Juillet 2010
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Sinon, en ´eliminant les ´equations dont tous les coefficients sont nuls, on obtient un syst`eme de r ´equations `a p
inconnues, avec r≤p.
Etape n 3 :
• Si r = p : on a un syst`eme de r ´equations `a r inconnues, triangulaire, tel que tous les pivots sont non nuls.
C’est donc un syst`eme de Cramer, qui a une solution unique.
• Si r <p : Le syst`eme admet alors une infinit´e de solutions. On choisit r inconnues principales, les autres
sontalorsp−r inconnues auxiliaires.On´ecritlesinconnuesprincipalesenfonctiondesinconnuesauxiliaires,
qui sont alors consid´er´ees comme des param`etres.
Cas particulier : Si l’une des inconnues ne figure plus dans le syst`eme triangulaire, elle peut prendre toutes
les valeurs r´eelles possibles et devient automatiquement une inconnue auxiliaire.
3 2Exemple : L’ensemble solution dansR de l’´equation x−3z = 0 est S ={(3z,y,z)/(y,z)∈R}.
1.3 Matrices inversibles
−1Une matrice A deM (R) est dite inversible s’il existe une matrice A telle que le produit de ces deuxn
matrices soit ´egal `a I , la matrice identit´e d’ordre n :n
−1 −1AA =A A =In
Proposition : Une matrice A carr´ee d’ordre n est inversible si, et seulement si, pour toute matrice colonne
Y d’ordre n, le syst`eme lin´eaire AX =Y est un syst`eme de Cramer.
−1Pour calculerA , on consid`ereY comme une matrice colonne param`etre, et on r´esout le syst`emeAX =Y.
−1 −1On obtient alors : X =A Y ce qui donne les coefficients de la matrice A .
2 Structures alg´ebriques, espaces vectoriels
2.1 Lois de composition
Soit E un ensemble.
Une loi de composition interne est une application de E×E vers E.
D´efinition 2 :
Autrement dit, a` tout couple (a,b) d’´el´ements de E, la loi interne associe un troisi`eme ´el´ement de E.
Exemples :
1. DansR, l’addition : a` tout couple de r´eels on associe leur somme : (a,b)7→a+b
2. DansR, la multiplication : `a tout couple de r´eels on associe leur produit.
3. DansM (R) l’addition des matrices est d´efinies par : si A = (a ) et B = (bij), alors A+B = (a +b )n ij ij ij
4. SoitF(R) l’ensemble des fonctions r´eelles de variable r´eelle d´efinies sur R. On d´efinit l’addition des
fonctions par : si f et g sont deux ´el´ements deF(R), f +g est d´efinie par :
∀x∈R (f +g)(x) =f(x)+g(x)
5. On d´efinit de mˆeme la multiplication des fonction par :
∀x∈R (fg)(x) =f(x)g(x)
6. DansF(R) la composition des fonctions est d´efinie par :
∀x∈R f◦g(x) =f(g(x))
7. SoitP(E) l’ensemble des parties d’un ensemble E. Les op´erations∪ et∩ sont des lois de composition
internes surP(E).
Soit un ensemble E muni de la loi de composition interne not´ee∗.
D´efinition 3 : Un sous-ensemble F de E est dit stable pour la loi∗ si, et seulement si,
∀a∈F, ∀b∈F, a∗b∈F.
Brigitte Bonnet, Lyc´ee International de Valbonne Juillet 2010
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Autrement dit, F est stable pour la loi∗ ssi∗ est une loi de composition interne pour F.
Exemples :
1. Prenons l’addition dansR. L’ensembleN est stable pour l’addition, et stable pour la multiplication. En
effet la somme et le produit de deux entiers naturels sont des entiers naturels.
2. Soit E = M (R) et D l’ensemble des matrices diagonales deM (R). La somme de deux matricesn n
diagonales est diagonale : D est stable pour l’addition des matrices. De mˆeme D est stable pour la
multiplication des matrices.
3. Soit E =N, et F l’ensemble des entiers impairs. F n’est pas stable pour l’addition.
Une loi de composition externe sur E (ou loi externe) est une application deR×E vers E :
D´efinition 4 :
`a tout couple (λ,a) form´e d’un r´eel λ et d’un ´el´ement a de E, on associe un ´el´ement de E not´e λ·a.
On ´etudiera une seule loi externe, sur diff´erents ensembles E, appel´ee multiplication par un r´eel.
Exemples :
1. Soit E =M (R). La multiplication par un r´eel sur cet ensemble est d´efinie par :3,1   
x λx
   Si X = y , alors λX = λy .
z λz
2. DansF(R) la multiplication par un r´eel est d´efinie par :∀λ∈R ∀f∈F(R) λf est la fonction d´efinie
par :
∀x∈R (λf)(x) =λf(x)
Un sous-ensemble F de E est dit stable pour la multiplication par un r´eel si, et seulement si,
D´efinition 5 :
∀λ∈R ∀a∈F λ·a∈F
Exemples : Prenons deux sous-ensembles deM (R) :3,1      
x x λx 
     • Soit F = 0 /x∈R . Alors λ 0 = 0 donc F est stable pour la loi externe.1 1
 
x x λx        
 x  x λx λx
       • Soit F = x+1 /x∈R . Alors λ x+1 = λx+λ = λx+1 donc F n’est pas stable pour2 2
 
x+2 x+2 λx+2λ λx+2
la loi externe.
2.2 Structure de groupe
Soit E un ensemble, muni d’une loi de composition interne not´er∗. (E,∗) est un groupe si :
• La loi∗ est associative :∀(a,b,c)∈E a∗(b∗c) = (a∗b)∗c
D´efinition 6 : • Il existe dans E un ´el´ement neutre e pour la loi∗ :∀a∈E a∗e =e∗a =a
0 0 0• Tout ´el´ement a de E admet un sym´etrique a dans E, tel que : a∗a =a ∗a =e
• De plus si la loi∗ est commutative, le groupe (E,∗) est dit commutatif, ou ab´elien.
Exemples :
1. (R,+) est un groupe commutatif. L’´el´ement neutre est 0. Le sym´etrique d’un r´eel pour l’addition est son
oppos´e.
2. (N,+) n’est pas un groupe car les entiers non nuls n’ont pas d’oppos´e dansN.
3. (R,×) n’est pas un groupe car 0 n’a pas de sym´etrique pour la multiplication, c’est-`a-dire d’inverse. Par
∗contre, (R ,×) est un groupe commutatif. L’´el´ement neutre pour la multiplication est 1.
4. L’ensembleM (R) des matrices carr´ees d’ordre 2 muni de l’addition des matrices est un groupe ab´elien.2
L’ensembleE desmatricesinversiblesdeM (R)estungroupenonab´elien(lamultiplicationdesmatrices2
n’est pas commutative). Dans cet ensembleM (R), l’´el´ement neutre pour l’addition est la matrice nulle,2
et l’´el´ement neutre pour la multiplication est la matrice identit´e.
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2.3 Structure d’espace vectoriel
Soit E un ensemble muni d’une loi de composition interne et d’une
loi de composition externe (multiplication par un r´eel not´ee·).
(E,+,·) est un espace vectoriel sur R si et seulement si :
(1) l’addition est associative
(2) l’addition est commutative
~(3) il existe un ´el´ement neutre pour l’addition, appel´e vecteur nul et not´e 0
D´efinition 7 :
(4) tout ´el´ement u de E a un sym´etrique pour l’addition, not´e−u et appel´e oppos´e de u
(5)∀u∈E 1·u =u
2(6)∀(u,v)∈E ∀λ∈R λ·(u+v) =λ·u+λ·v
2(7)∀u∈E ∀(λ,μ)∈R (λ+μ)·u =λ·u+μ·u
2(8)∀u∈E ∀(λ,μ)∈R λ·(μ·u) = (λμ)·u
Les ´el´ements d’un espace vectoriel sont appel´es vecteurs.
Exemples :
21. Soit E =R ={(x,y)/x∈R, y∈R}
On d´efinit l’addition des couples de r´eels, et la multiplication d’un couple de r´eels par un r´eel, par :
• Si u = (x,y) et v = (z,t), alors u+v = (x+z,y+t)
• Si u = (x,y), alors λu = (λx,λy)
2En v´erifiant les 8 propri´et´es, on montre que (R ,+,·) est un espace vectoriel.
Le vecteur nul est le couple (0,0), l’oppos´e d’un vecteur u = (x,y) est−u = (−x,−y).
nDe mˆeme, pour tout entier n sup´erieur ou´egal `a 1, l’ensembleR des n-uples de r´eels, muni de l’addition
et de la multiplication par un r´eel, est un espace vectoriel surR. Le vecteur nul est (0,0,...,0) et le reste
2est d´efini sur le mˆeme mod`ele queR .
2. Soient n et p deux entiers sup´erieurs ou ´egaux a` 1. L’ensembleM (R) des matrices `a n lignes et pn,p
colonnes, muni de l’addition des matrices et de la multiplication par un r´eel, est un espace vectoriel sur
R.
Le vecteur nul de cet espace vectoiel est la matrice dont tous les coefficients sont nuls (matrice nulle) et
l’oppos´e d’une matrice est le produit de cette matrice par−1.
3. Soit I un intervalle de R, etF(I) l’ensemble des fonctions d´efinies sur I. En prenant les d´efinitions de
l’addition des fonctions et de la multiplication par un r´eel vues au paragraphe pr´ec´edent, (F(I),+,·) est
un espace vectoriel surR.
4. SoitU l’ensemble des suites r´eelles. On d´efinit la somme de deux suites en additionnant les termes
g´en´eraux de ces deux suites, et la multiplication par un r´eel λ en multipliant chaque terme de la suite
par le r´eel λ.
NMuni de ces deux lois,U est un espace vectoriel surR. On le note aussiR .
Remarque : Les 4 “familles” d’espaces vectoriels d´efinis ci-dessus constituent les espaces vectoriels de
r´ef´erence : on n’aura plus besoin de d´emontrer que ce sont des espaces vectoriels.
Soit E un espace vectoriel, u et v deux ´el´ements de E, λ et μ deux r´eels.
D´efinition 8 :
Le vecteur λu+μv est une combinaison lin´eaire de u et v.
De mˆeme, on peut g´en´eraliser : une combinaison lin´eaire de k vecteurs u ,u ,...,u est un vecteur1 2 k
λ u +λ u +...+λ u , ou` λ ,λ ,...,λ sont des nombres r´eels.1 1 2 2 k k 1 2 k
Exemple : Soit u = (1,2), v = (3,−1). Montrer que w = (5,3) est une combinaison lin´eaire de u et v.
2.4 Sous-espaces vectoriels
Un sous-ensemble F d’un espace vectoriel E est un sous-espace vectoriel de E
D´efinition 9 :
s’il est lui-mˆeme un espace vectoriel.
Brigitte Bonnet, Lyc´ee International de Valbonne Juillet 20106
Th´eor`eme 1 (th´eor`eme de caract´erisation) :
Soit F un sous-ensemble de E. F est un sous-espace vectoriel si, et seulement si :
• F =∅
2• F est stable pour l’addition :∀(u,v)∈F , u+v∈F
• F est pour la multiplication par un r´eel :∀u∈F ∀λ∈R, λ·u∈F
Remarque : Les deux propri´et´es de stabilit´e peuvent se r´esumer en une seule : la stabilit´e de F par
combinaison lin´eaire, ce qui donne :
Soit F un sous-ensemble de E. F est un sous-espace vectoriel si, et seulement si :
Th´eor`eme 1bis : • F =∅
2 2• F est stable par combinaison lin´eaire :∀(u,v)∈F , ∀(λ,μ)∈R , λu+μv∈F
Exemples :
~ ~1. Si 0 est le vecteur nul d’un espace vectoriel E,{0} est un sous-espace vectoriel de E.
~En effet,{0} est ´evidemment non vide et stable pour l’addition.
~ ~D’autre part, λ·0 =λ(u+(−u)) =λu+(−λ)u =λu−λu = 0
(Cette suite d’´egalit´es est possible grˆace aux propri´et´es qui d´efinissent un espace vectoriel.)
02. SoitC (I) l’ensemble des fonctions continues sur l’intervalle I. C’est un sous-ensemble deF(I).
La somme de deux fonctions continues sur I est continue sur I, le produit d’une fonction continue sur I
0par un r´eel l’est aussi. DoncC (I) est un sous-espace vectoriel deF(I), et par cons´equent c’est un espace
vectoriel.
23. Soit E =R et F ={(x,0)/x∈R}.
F est non vide car, par exemple, (0,0)∈F.
Soient u = (x ,0) et u = (x ,0) deux ´el´ements de F, et soient λ et μ deux r´eels.1 1 2 2
λu +μu = (λx +μx ,0) donc λu +μu ∈ F. F est donc stable par combinaison lin´eaire, c’est un1 2 1 2 1 2
2sous-espace vectoriel deR .
04. SoitR[X] l’ensemble des fonctions polynomeˆ s. C’est un sous-ensemble deF(R) (et mˆeme deC (R)!). On
sait que la somme de deux fonctions polynˆomes en est une et de mˆeme pour le produit par un r´eel.R[X]
est donc un sous-espace vectoriel deF(R), et donc un espace vectoriel.
5. SoitR [X] l’ensemble des fonctions polynˆomes de degr´e inf´erieur ou ´egal a` n, n ´etant un entier natureln
fix´e.
• Si d (P)≤ n et d (Q)≤ n, alors d (P + Q)≤Sup(d (P),d (Q))≤ n. Donc R [X] est stable pourn
l’additiondes fonctions.
• Si λ = 0, les polynˆomes P et λP ont mˆeme degr´e, et si λ = 0, λP est le polynˆome nul. DoncR [X] estn
stable pour la multiplication par un r´eel.
R [X] est donc un sous-espace vectoriel deR[X], et donc lui-mˆeme un espace vectoriel.n
Conclusion : On peut ainsi construire toutes sortes d’espaces vectoriels, comme sous-espaces vectoriels des
espaces vectoriels de r´ef´erence.
De plus, pour d´emontrer qu’un ensemble est un espace vectoriel, on n’utilisera jamais la d´efinition, mais on
d´emontrera que l’ensemble en question est un SEV de l’un des espaces vectoriels de r´ef´erence, en utilisant l’une
des 2 versions du th´eor`eme de caract´erisation.
Th´eor`eme 2 : Le vecteur nul de E appartient a` tout SEV de E.
d´em : Si F est un SEV de E, il est stable pour la multiplication par un r´eel, et il est non vide :
~Soit u un ´el´ement de F, alors 0·u∈F, c’est-`a-dire 0∈F.
Cons´equence : Si un sous-ensemble F de E ne contient pas le vecteur nul, ce n’est pas un SEV de E.    
 x  0
   Exemple : Soit F = x+1 /x∈R . Comme 0 n’appartient pas `a F, ce n’est pas un SEV de
 
x+2 0
M (R).3,1
Brigitte Bonnet, Lyc´ee International de Valbonne Juillet 2010
??66???67
Th´eor`eme 3 : L’intersection de deux SEV de E est un SEV de E.
d´em : Soient F et F deux SEV de E.1 2
~ ~ ~• Comme 0∈F et 0∈F , 0∈F ∩F : F ∩F est non vide.1 2 1 2 1 2
• Soient u et v deux vecteurs appartenant `a F ∩F , et soient λ et μ deux r´eels. Alors comme F est stable par1 2 1
combinaison lin´eaire, λu+μv appartient `a F . De mˆeme λu+μv appartient `a F . Donc λu+μv∈ F ∩F .1 2 1 2
Par cons´equent F ∩F est stable par combinaison lin´eaire.1 2
Remarque : Ce th´eor`eme se g´en´eralise a` un nombre quelconque de SEV de E. (D´emonstration par
r´ecurrence.)
nL’ensemble solutions, dansR ou dansM (R), d’un syst`eme lin´eaire homog`enen,1
Th´eor`eme 4 : nde p ´equations `a n inconnues est un SEV deR ou deM (R).n,1
3 3d´em : (dansR , `a g´en´eraliser). Soit F ={(x,y,z)∈R /ax+by+cz = 0}, ou` a, b, c sont des r´eels fix´es.
• F est non vide car il contient le vecteur nul (0,0,0).
• Soient u = (x ,y ,z ) et u = (x ,y ,z ) deux vecteurs quelconques de F et soient λ et μ deux r´eels. Alors1 1 1 1 2 2 2 2
λu +μu = (λx +μx ,λy +μy ,λz +μz ). Or :1 2 1 2 1 2 1 2
a(λx +μx )+b(λy +μy )+c(λz +μz ) =λ(ax +by +cz )+μ(ax +by +cz ) =λ·0+μ·0 = 01 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2
• donc λu +μu appartient `a F : F est stable par combinaison lin´eaire.1 2
3Or tout ensemble solution d’un syst`eme lin´eaire homog`ene dansR est une intersection d’ensembles du mˆeme
3type que F, donc d’apr`es le th´eor`eme 3, c’est un SEV deR .
2.5 Sous-espaces vectoriels engendr´es
Soit E un espace vectoriel et{u ,u ,...,u} une famille de p vecteurs de E.1 2 pTh´eor`eme 5 :
L’ensemble des combinaisons lin´eaires de ces p vecteurs est un SEV de E.
L’ensemble des combinaisons lin´eaires de ces p vecteurs est appel´e
D´efinition 10 : sous-espace vectoriel engendr´e par{u ,u ,...,u} .1 2 p
pNotation : Vect(u ,u ,...,u ) ={x u +x u +...+x u /(x ,x ,...,x )∈R}1 2 p 1 1 2 2 p p 1 2 p
Exemples :
21. Soit F ={(x,2x+3y,x−5y)/(x,y)∈R}, alors F =Vect((1,2,1),(0,3,−5))
3 32. Soient F ={(x,y,z)∈R /2x+y−z = 0} et F ={(x,y,z)∈R /x+y+z = 0}.1 1
Cherchons des vecteurs qui engendrent respectivement F , F et F ∩F .1 2 1 2
2 2F ={(x,y,2x+y)/(x,y)∈R} ={x(1,0,2)+y(0,1,1)/(x,y)∈R} =Vect((1,0,2),(0,1,1))1
2 2F ={(x,y,−x−y)/(x,y)∈R} ={x(1,0,−1)+y(0,1,−1)/(x,y)∈R} =Vect((1,0,−1),(0,1,−1))2
D’autre part, en r´esolvant le syst`eme des deux ´equations `a 3 inconnues d´efinissant respectivement F et1
F , on obtient :2
F ∩F ={(2z,−3z,z)/z∈R} ={z(2,−3,1)/z∈R} =Vect((2,−3,1))1 2
D´efinition 11 : Un sous-espace vectoriel engendr´e par un seul vecteur non nul est une droite vectorielle.
Deux vecteurs u et v sont dits colin´eaires si, et seulement si, il existe un r´eel α tel que v =αu.
D´efinition 12 :
Autrement dit, deux vecteurs sont colin´eaires s’ils appartiennent `a la mˆeme droite vectorielle.
Remarques :
~• Le vecteur nul est colin´eaire a` n’importe quel autre vecteur de E : En effet, 0 = 0·u, quel que soit u dansE
E.
• La droite vectorielle Vect(u) est l’ensemble des vecteurs colin´eaires `a u.
• Si une droite vectorielle F est engendr´ee par un vecteur u, elle est ´egalement engendr´ee par tout vecteur non
Brigitte Bonnet, Lyc´ee International de Valbonne Juillet 20108
nul colin´eaire `a u : si α = 0, Vect(u) =Vect(αu).
1 1 1
Par exemple, Vect , ,− =Vect((1,5,−6))
30 6 5
2.6 Familles libres
Une famille (u ,u ,...,u ) de p vecteurs de E est dite libre si, et seulement si :1 2 p
p ~∀(x ,x ,...,x )∈R x u +x u +...+x u = 0 ⇒ x =x =... =x = 01 2 p 1 1 2 2 p p 1 2 p
D´efinition 13 : Une famille de vecteurs qui n’est pas libre est dite li´ee.
Les vecteurs d’une famille libre sont dits lin´eairement ind´ependants.
Les vecteurs d’unee li´ee sont dits lin´t d´ependants.
2Exemple 1 : Soient u = (a,b) et v = (c,d) deux vecteurs deR .
ax+cy = 0~xu+yv = 0 ⇒
bx+dy = 0
La condition pour que ce syst`eme soit de Cramer estad−bc = 0. Donc la famille{u,v} est libre si, et seulement
si, les deux vecteurs u et v ne sont pas colin´eaires.
Le th´eor`eme suivant g´en´eralise ce r´esultat.
Deux vecteurs de E forment une famille libre si, et seulement si ils ne sont pas colin´eaires.Th´eor`eme 6 :
Attention! Ce crit`ere ne marche pas avec plus de 2 vecteurs.
3Exemple 2 : Soit dansR :u = (−1,2,4), u = (3,1,−2), u = (2,3,2). On cherche si l’implication :1 2 3
~xu +yu +zu = 0⇒x =y =z = 0 est vraie.1 2 3
~Pour cela supposons que xu +yu +zu = 0, c’est-`a-dire (−x+3y+2z,2x+y+3z,4x−2y+2z) = (0,0,0).1 2 3
Cette ´equation se traduit par un syst`eme lin´eaire homog`ene ´ecrit sous forme de matrice compl`ete :     
−1 3 2 0 −1 3 2 0 −1 3 2 0
     2 1 3 0 0 7 7 0 0 1 1 0⇔ ⇔
4 −2 2 0 0 10 10 0 0 0 0 0
Ce syst`eme a une infinit´e de solutions : l’implication n’est pas v´erifi´ee, et donc la famille{u ,u ,u} est1 2 3
li´ee.
On aurait pu remarquer que u = u +u : il existe bien une combinaison lin´eaire de ces 3 vecteurs, avec des3 1 2
coefficients non tous nuls, qui est ´egale au vecteur nul. On en d´eduit imm´ediatement que la famille est li´ee.
Exemple 3 : Soient u = (−1,1,0), u = (3,1,−2), u = (2,3,2), u = (1,1,1).1 2 3 4
~L’´equation vectorielle xu + yu + zu + tu = 0 se traduit par un syst`eme homog`ene de 3 ´equations a` 41 2 3 4
inconnues : il a donc une infinit´e de solutions, et par cons´equent la famille{u ,u ,u ,u} est une famille li´ee.1 2 3 4
nEn g´en´eralisant ce raisonnement, on constate qu’une famille de plus de n vecteurs dansR est une famille li´ee.
n• Une famille libre deR a au maximum n vecteurs.
Th´eor`eme 7 : • Toute sous-famille d’une famille libre est libre.
• Toute sur-famille d’une famille li´ee est li´ee.
Exemple 4 : Soient u = (1,−1,0), u = (−3,3,0), u = (1,1,1).1 2 3
Comme u et u sont colin´eaires,{u ,u} est une famille li´ee, donc{u ,u ,u} est aussi une famille li´ee.1 2 1 2 1 2 3
2.7 Familles g´en´eratrices
Une famille de p vecteurs de E est g´en´eratrice de E si, et seulement si,
D´efinition 14 :
tout vecteur de E est combinaison lin´eaire de ces p vecteurs.
Autrement dit : (u ,u ,...,u ) est une famille g´en´eratrice de E ssi, pour tout vecteur u de E, il existe des1 2 p
r´eels x ,x ,...,x tels que u =x u +x u +...+x u .1 2 p 1 1 2 2 p p
Brigitte Bonnet, Lyc´ee International de Valbonne Juillet 2010
669
Ou encore : (u ,u ,...,u ) est une famille g´en´eratrice de E ssi E =Vect(u ,u ,...,u ).1 2 p 1 2 p
Exemples :
2 21. DansR , soient u = (a,b) et v = (c,d), et soit w = (e,f) un ´el´ement quelconque deR .
Existe-t-il des r´eels x et y tels que w =xu+yv?
Cette ´equation se traduit par le syst`eme lin´eaire suivant :

ax+cy =e
bx+dy =f
et on cherche `a savoir, si pour toutes valeurs de e et f le syst`eme admet au moins une solution (x,y).
(x et y sont les inconnues du syst`eme, e et f sont des param`etres.)
Or ce syst`eme est un syst`eme de Cramer si et seulement si ad−bc = 0, c’est-`a-dire si les deux vecteurs
u et v ne sont pas colin´eaires. Si ce n’est pas un syst`eme de Cramer, il existe des valeurs des param`etres
pour lesquelles il n’a pas de solution.
2Donc la famille{u,v} est g´en´eratrice deR si, et seulement si, elle est libre.
22. Soit u = (1,2), u = (2,4) et u = (−1,1) trois vecteurs deR .1 2 3
2On consid`ere un vecteur quelconque w = (a,b) deR . L’´equation xu +yu +zu =w se traduit par un1 2 3
syst`eme de 2 ´equations `a 3 inconnues :

x+3y−z =a x+3y−z =a

2x+4y+z =b −2y+3z =b−2a
Ce syst`eme a une infinit´e de solutions, et ceci quelles que soient les valeurs de a et b.
2La famille{u ,u ,u} est donc g´en´eratrice deR .1 2 3
33. Reprenons l’exemple 2 du paragraphe pr´ec´edent, et soit w = (a,b,c) un vecteur quelconque deR .
L’´equation vectorielle, de param`etre w, xu +yu +zu = w se traduit par le syst`eme, sous forme de1 2 3
matrice compl`ete :
     
−1 3 2 a −1 3 2 a −1 3 2 a
     2 1 3 b ⇔ 0 7 7 b+2a ⇔ 0 1 1 (b+2a)/7
4 −2 2 c 0 10 10 c+4a 0 0 0 −8a+10b−7c
Ce syst`eme n’a pas de solutions quand−8a+10b−7c = 0, ce qui est le cas pour une infinit´e de vecteurs
w.
3Donc la famille{u ,u ,u} n’est pas g´en´eratrice deR .1 2 3
34. Soit v = (2,1,−3), v = (4,5,−2), et v = (1,1,1). Pour tout vecteur w = (a,b,c) deR , on cherche s’il1 2 3
existe des r´eels x, y, z tels que w =xv +yv +zv .1 2 3
cette ´equation se traduit par un syst`eme lin´eaire de 3 ´equations `a 3 inconnues, et en mettant ce syst`eme
sous forme triangulaire on constate que c’est un syst`eme de Cramer. De plus le fait que ce soit un syst`eme
de Cramer ne d´epend pas du second membre, c’est-`a-dire des r´eels a,b et c. Donc quels que soient ces
r´eels, le syst`eme admet une solution unique.
3La famille{v ,v ,v} est donc g´en´eratrice deR .1 2 3
De plus si le second membre est nul on a aussi un syst`eme de Cramer : la famille est donc libre.
3G´en´eralisation : Soit une famille de 3 vecteurs de R . Cette famille est libre si et seulement si elle est
g´en´eratrice.
5. Soit w = (1,2,4), et w = (3,1,−1). L’´equation w = (a,b,c) =xw +yw se traduit par un syst`eme de1 2 1 2
3 ´equations `a 2 inconnues : il n’y a pas de solutions pour tout triplet (a,b,c).
3Cette famille n’est pas g´en´eratrice deR .
n• Une famille g´en´eratrice deR a au minimum n vecteurs.
Th´eor`eme 8 :
• Toute sur-famille d’une famille g´en´eratrice est g´en´eratrice.
2.8 Bases
Un p-uple de vecteurs (u ,u ,...,u ) est une base de E si, et seulement si,1 2 p
D´efinition 15 :
ses p vecteurs constituent une famille libre et g´en´eratrice de E.
Brigitte Bonnet, Lyc´ee International de Valbonne Juillet 2010
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Soit u un vecteur de E etB = (u ,u ,...,u ) une base de E.1 2 p
Th´eor`eme 9 : Alors il existe un unique p-uple de r´els (x ,x ,...,x ) tel que1 2 p
u =x u +x u +...+x u .1 1 2 2 p p
D´efinition 16 : Le p-uple de r´eels (x ,x ,...,x ) constitue les coordonn´ees de u dans la baseB.1 2 p
Exemple : Soit u = (1,2) et u = (3,4). D’apr`es les r´esultats des paragraphes pr´ec´edents, (u ,u ) est1 2 1 2
2une base deR . Le vecteur (5,6) a pour coordonn´ees (−1,2) par rapport `a la base (u ,u ), c’est-`a-dire que :1 2
(5,6) =−u +2u1 2
2Remarque 1 : (u ,u ) est ´egalement une base deR . Les coordonn´ees du vecteur (5,6) dans cette base sont2 1
(2,−1).
Remarque 2 : Dans la base (u ,u ) les coordonn´ees de u sont (1,0) et celles de u sont (0,1).1 2 1 2
Th´eor`eme 10 : Si un espace vectoriel E a une base de p vecteurs, toutes ses bases comportent p vecteurs.
D´efinition 17 : Le nombre de vecteurs d’une base de E est appel´e la dimension de E.
~Cas particulier : Pour tout espace vectoriel E, on sait que{0 } est un sous-espace vectoriel de E. ParE
convention, on dit qu’il est de dimension 0.
Exemple fondamental : la base canonique. la base canonique d’un espace vectoriel est la base dans
laquelle les coordonn´ees d’un vecteur sont les coefficients qui le d´efinissent.
21. DansR , la base canonique est (e ,e ) avec e = (1,0),e = (0,1)). En effet pour tout couple (x,y) de1 2 1 2
2R , on a : (x,y) =x(1,0)+y(0,1) =xe +ye .1 2
n2. de mˆeme, dansR soit e = (1,0,...,0), e = (0,1,0,...,0), ...,e = (0,...,0,1). Pour tout vecteur de1 2 n
nR (x ,x ,...,x ) =x e +x e +...+x e .1 2 n 1 1 2 2 n n
Levecteur(x ,x ,...,x )apourcoordonn´ees(x ,x ,...,x )danscettebase:(e ,e ,...,e )estlabase1 2 n 1 2 n 1 2 n
ncanonique deR .

x y
3. DansM (R) toute matrice peut s’´ecrire :2
z t

x y 1 0 0 1 0 0 0 0
=x +y +z +t
z t 0 0 0 0 1 0 0 1

1 0 0 1 0 0 0 0
Le quadruplet , , , est la base canonique deM (R).20 0 0 0 1 0 0 1
Plus g´en´eralement, dansM (R) (l’espace vectoriel des matrices carr´ees d’ordren) on pose Δ la matricen ij
dont le coefficient de la ligne i et la colonne j est 1, tous les autres ´etant nuls.
Alors (Δ /1≤i≤n,1≤j≤n) est la base canonique deM (R).ij n
2 n4. DansR [X] tout polynˆome P s’´ecrit : P(x) =a +a x+a x +...+a x .n 0 1 2 n
2 nOn note aussi (polynˆome formel) : P =a +a X +a X +...+a X0 1 2 n
Les nombres a ,a ,...,a sont les coefficients du polynomeˆ P.0 1 n
kSoit e le polynˆome d´efini par : e (x) =x . Alors P =a e +a e +...+a e :k k 0 0 1 1 n n
(e ,e ,e ,...,e ) est la base canonique deR [X].0 1 2 n n
2 nOn la note aussi : (1,X,X ,...,X ).
Remarques :
Brigitte Bonnet, Lyc´ee International de Valbonne Juillet 2010

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