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Cours de mathématiques - 2ème année de CPGE économique et commerciale, voie ECE, Applications linéaires

De
8 pages
Ce cours est composé de 13 chapitres : (1) Espaces vectoriels (2) Applications linéaires (3) Probabilités discrètes (4) Suites et séries réelles (5) Réduction des endomorphismes (6) Vecteurs aléatoires (7) Intégration (8) Fonctions de deux variables (9) variables à densité (10) Problèmes de convergence et approximations en probabilités (11) Formules de Taylor et développements limités (12) Estimation (13) Eléments de Turbo-Pascal
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Table des

1

2

3

4

5

6

Chapitre

matieres
`

De´finitions,exemples

2.

Noyaud’uneapplicationlin´eaire

Imaged’uneapplicationline´aire

Matriced’uneapplicationline´aire

1

Applications

lin´eaires

R`lesdecalculsurlesmatricesd’applicationslin´eaires
eg
5.1Ope´rations...............................................
5.2Compos´eededeuxapplicationsline´aires...............................
5.3 Puissances d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Application reciproque d’un automorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
´
5.5Groupelin´eaire.............................................

Effet d’un changement de base sur

la matrice d’un endomorphisme

BrigitteBonnet,Lyc´eeInternationaldeValbonne

2

3

3

5

6
6
6
7
7
7

7

Juillet 2010

1

D´efinitions,

De´finition1:

Remarque :

Exemples :

exemples

2

SoientEetFdeux espaces vectoriels, etfune application deEversF.
L’applicationf,lementsiise,stuenie´iaertles
∀u∈E∀v∈E f(u+v) =f(u) +f(v)
∀u∈E∀λ∈Rf(λu) =λf(u)

Cesdeuxconditionspeuventˆetreremplac´eesparuneseule:

∀u∈E∀v∈E∀λ∈R∀µ∈R

f(λu+µv) =λf(u) +µf(v)

1. Soitf:R2−→R2peins:raid´efiu= (x, y), alorsf(u) = (x2, x+y) Soientu1= (x1, y1) etu2
f(u1+u2) =f(x1+x2, y1+y2) = ((x1+x2)2, x1+x2+y1+y2)
f(u1) +f(u2) = (x21+x22, x1+y1+x2+y2)
Or six1x26= 0, (x1+x2)26=x12+x22donc l’applicationfe’nre.´eaislinstpa
2. Soitf:R2−→Rp´edifine:raf(x, y) = 2x+ 3y
f(x1+x2, y1+y2) = 2(x1+x2) + 3(y1+y2) = 2x1+ 3y1+ 2x2+ 3y2=f(x1, y1) +f(x2, y2)
f(λx, λy) = 2(λx) + 3(λy) =λ(2x+ 3y) =λf(x, y) doncftionlicaeappestun.eaeriil´n
3. SoitE=C1(R) etF=C0(R)oitacilppa’lΦte,par:nd´efinie

∀f∈EΦ(f) =f0

On sait que : (λf+µg)0=λf0+µg0(Φd-a`:eri’c,-tseλf+µg) =λΦ(f) +µΦ(g)
L’applicationΦ,“de´rive´e”,estdoncuneapplicationlin´eaire.
4. DansM3(R), soit une matriceAnodee´noi.St:

f(λM1+µM2)

f:M3(R)→M−3(R)
M−→7AM+M A

=A(λM1+µM2) + (λM1+µM2)A
=A(λM1) +A(µM2) + (λM1)A+ (µM2)A
=λ(AM1+M1A) +µ(AM2+M2A)
=λf(M1) +µf(M2)

fpalpcitabteiunenese´nilnoiederiaM3(Rsler)vmeˆe-mui.

Th´`eme1:Sifneapestuatioplicnilniae´ederEversF
eorf(~0E) =~0F

~
de´m:Soituun vecteur deE, alors 0E= 0∙u, et commefiaer,estlin´e
f(0∙u) = 0∙f(u) =~0F.

= (x2, y2)

Cons´equence:e´,erefii´en’i´etasv´estpeciSpettrporftsapne’pmeloprurcnuennoisere`tiai´einsladel.Cre
d´emontrerqu’uneapplicationn’estpasline´aire.
Exemple :L’application deR2versR2ar:niepd´efif(x, y) = (x+y+ 1, x−2yinr´elaicaaset,pesrn’3)+
f(0,0) = (1,3tA.)tnet!noicecrit`eren’estpsaussffina:tf(~0E) =~0Fn’implique pas quefoire.(Vtseriae´nil
l’exemple 1.)

Definition 2 :
´

•itacilnoaenUilppecijvetiean´ebirseutnisomorphisme.
•ederiae´nilnplicatioUneapEversEest unendomorphisme.
•Un endomorphisme bijectif est unautomorphisme.

BrigitteBonnet,Lyc´eeInternationaldeValbonne

Juillet 2010

2

Noyau

D´efinition3:

d’une application

3

lin´eaire

Soitfeae´nderiticalioneaunlippEversF.
~
Le noyau defest l’ensemble des vecteurs deEdont l’image est 0F.
~
Ker(f) ={u∈E / f(u) = 0F}

Exemple :Soitfl’application deR2versRiepa´efindr:f(x, y) = 2x+ 3y.
Ker(f) ={(x, y)∈R2/2x+ 3y= 0}={(−23y, y)/ y∈R}=V ect((−32,1)) =V ect((−3,2))
On remarque queKer(flutilesosembl’enitnoqeaunu´eno’d`eogomehirean´liedVESnutse’c:enst)eR2.

Th´eor`2:PKoeur(rfppilacitottuaeeirlionean´)nutsfdeEversF,
eme vectoriel dee sous-espaceE.

de´m:•On sait quef(~0E) =~0F, donc le noyau defcontient au moins le vecteur nul
pas vide.
•Soientu1etu2deux vecteurs deKer(f),λetµ.slee´rxued
~ ~
f(λu1+µu2) =λf(u1) +µf(u2) =λ∙0 +µ∙0 =~0
doncλu1+µu2∈Ker(f) : le noyau defil´naeri.iebansinoleparcomeststab
•C’est donc bien un sous-espace vectoriel deE.

The´or`eme3:

finjective⇔

Ker(f) ={~0E}

de

E

:

il

n’est

de´m:•Supposonsfinjective :f(u1) =f(u2)⇒u1=u2.
´el´ementdeKer(f) : alorsf(u) =f(~0 )~0F, doncu=~0E.
SoituunE=
•´Rpiceuqornemeppost,suueonsqKer(f) ={~0E}.
Soientu1etu2tels quef(u1) =f(u2), alors commef:vaui`auteleceqa´´nilriaetsef(u1−u2) =~0Fireest-`a-d,’c
u1−u2∈Ker(f)~
, doncu1−u2= 0E.
on a donc bien :f(u1) =f(u2)⇒u1=u2:fest injective.

3Imaged’uneapplicationlin´eaire

Attention !il s’agit dans ce paragraphe del’ensemble imageaeevnordc,`antionconfepasnu’dacilppae
l’imagef(u) d’un vecteurueappmˆemetteparc.noitacil

Soitfil´naeriilacitnoedeppeaunEversF.
De´finition4:L’image defest l’ensemble des vecteurs deFtaumuionunanoinse´ed´tcertnapqf.
Im(f) ={v∈F /∃u∈E / f(u) =v}

Exemple :Soitfl’application deR2versR2arep:´dfieinf(x, y) = (2x−y,−4x+ 2y).
On montre facilement quef.reai´eintles
•Ker(f) ={(x, y)/2x−y= 0,−4x+y= 0}=V ect((1,2))
•Im(f) ={(a, b)∈R2/∃(x, y)∈R2/(a, b) = (2x−y,−4x+ 2y)}
On cherche l’ensemble des couples (a, b)leuqsletioutn:muioiaatselosnnut`emesysvantesui
−24xx−y=ba⇔2x0−y==b+a2a
+ 2y=

Lesyst`emeaaumoinsunesolutionsi,etseulementsi,b+ 2a= 0.
Donc :Im(f) ={(a, b)∈R2/2a+b= 0}={(a,−2a)/ a∈R}=V ect((1,−2)).

BrigitteBonnet,Lyce´eInternationaldeValbonne

Juillet 2010

The´or`eme4:

4

Sifdereaiseutenionlin´eapplicatEversF,
Im(f) est un sous-espace vectoriel deF.

de´m:•Im(f) est non~m)(a’d,e`rptelsoe´hr`eme1.
vide car 0F∈I f
•Soientv1etv2deux vecteurs deIm(f) : il existe alors deux vecteursu1etu2deEtels quef(u1) =v1et
f(u2) =v2.
Commefintlesp,eriae´rsuotruos´eelλetµ:

f(λu1+µu2) =λf(u1) +µf(u2) =λv1+µv2

doncλv1+µv2∈Im(f) :Im(f.eelapcrmoe)tstsbalin´eairbinaison
•C’est donc un SEV deF.

The´ore`me5:

D´efinition5:

fsurjective

Im(f) =F

Lerangacitnoil´naeried’uneapplifest la dimension deIm(f).

The´ore`medurang:

SoientEetFdeux espaces vectoriels de dimension finie,
Th´eor`eme6:etfairedeionlin´epalpcitauenEversF.
Alors :dim(Ker(f)) +dim(Im(f)) =dim(E)

(dmisemeaoe`rt´h)

Exemple :Soitfl’endomorphisme deR3ipfin:´eard

f: (x, y, z)→7−(x+y+z, x+y+z, x+y+z)

•Ker(f) ={(x, y, z)∈R3/ x+y+z= 0}=V ect((1,0,−1),(0,1,−1))
•eth´eor`emeduran,gDrpa’lse`Im(f) est de dimension 1, et commef((1,0,0)) = (1,1,1), le vecteur (1,1,1)
est´ele´mentdeIm(f).
DoncIm(f) =V ect((1,1,1)).
Autrem´ethode:Im(f) ={(a, b, c)∈R3/∃(x, y, z)∈R3/(a, b, c) = (x+y+z, x+y+z, x+y+z)}
Lesyste`meinduitadmetaumoinsunesolutionsi,etseulementsi,a=b=c
.
DoncIm(f) ={(a, a, a)/ a∈R}=V ect((1,1,1)).

Onpeutg´ene´raliserlapremie`reme´thodeutilise´eci-dessusavecleth´eor`emesuivant:

SoitEun espace vectoriel de dimensionn, (e1, e2, . . . , en) une base deE,
Th´eore`me7:etfpplicatiunearideenoil´naeEvers un espace vectorielF.
AlorsIm(f) =V ect(f(e1), f(e2), . . . , f(en)).

d´em:flIdtuaome´ertnuerquttol´´eenemdteIm(fcevsedersruet)seutenocmbinaisonlin´eaif(e1), f(e2), . . . , f(en).
Soitvun vecteur deIm(f). Il existe donc un vecteurudeEtel quef(u) =v.
Oru=x1e1+x2e2+. . .+xnen(u`o,x1, x2, . . . , xnseednne´roodescoontl)suprae(asabalt`orpprae1, e2, . . . , en).
Donc commefaire:seltnie´v=f(u) =f(x1e1+x2e2+. . .+xnen) =x1f(e1) +x2f(e2) +. . .+xnf(en)
vnunetbieinaicombsesurteece´nilnosvsederiaf(e1), f(e2), . . . , f(en).
Lare´ciproqueeste´vidente.

BrigitteBonnet,Lyc´eeInternationaldeValbonne

Juillet 2010

4

Matrice d’une

D´efinition6:

5

application lineaire
´

SoientEetFdeux espaces vectoriels de dimensions respectivesnetp,
B= (e1, e2, . . . , en) une base deEetB0= (e01, e02, . . . , e0p) une base deF,
soitfonticalippeaunederiae´nilEversFtelle que
f(e1) =a11e01+a21e02+. . .+ap1e0p
f(e2) =a12e01+a22e02+. . .+ap2e0p
.
f(en) =a1ne01+a2ne02+. . .+apne0p
Alors la matrice defpar rapport aux basesBetB0est :
a11a12∙ ∙ ∙a1n
a21a22∙ ∙ ∙a2n
. . .
ap1ap2∙ ∙ ∙apn

Lescolonnesnodroocssedsee´nolnnseedirec-socnclesmatcesontdomettirtaecedf(ei) dans la baseB0
.

Cas d’un endomorphisme :Sifest un endomorphisme deEesc’`at-ir-de(F=E), on prendraB0=B.
Parexemple,ond´efiniralamatriced’unendomorphismedeE`antmevetilaredeuqinonacesabaleE.

Effetsurlescoordonn´eesdesvecteurs:
xx12

Soituun vecteur quelconque deEoodrd,ceeesno´nX=x.ndans la baseB,`at-esc’e:ir-du=x1e1+x2e2+
. . .+xnen,
y1
etv=f(unodree´ns)decooY=y2dans la baseB0c,tse’a--`rediv=y1e01+y2e02+. . .+ype0p. Alors :
y.p

Th´eor`eme8:

Y=AX

Conse´quencepourlarecherchedunoyauetdel’image.
Exemple :Soitfl’endomorphisme deR3de matriceAnt`alabalativemeuq(enoidesaconin:raerf
canoniquementassocie´a`A), avec :
1 1
A=−111−11−11

Siu= (x, y, zesdel)seocroodnne´v=f(uontdeen´arsp:esabonacuqinnose)dansla
Ayxz=−xx−+yy++zz
x+y−z
Donc le noyau defest l’ensemble solution dansR3t`eme:dusys
−x+y+z= 0
x−y+z= 0
x+y−z= 0

est

Enr´esolvantcesyste`me,ontrouve:Ker(f) ={~0},gnauredemr`eoh´etslrpe`dsa’peulD.Im(f) est de dimen-
sion 3, donc :Im(f) =R3.
L’endomorphismefc,fitse’-a`-eridjebiifct’e:cunstnoicsedttifenjecjecttsurautomorphismedeR3.
Cer´esultatestlacons´equencedufaitquelesyste`meci-dessusestunsyste`medeCramer,etdoncquelamatrice
Ade l’endomorphismefestinversible.

BrigitteBonnet,Lyc´eeInternationaldeValbonne

Juillet 2010

Onpeutg´ene´ralisercere´sultat:

The´ore`me9:

5

5.1

6

Soitfun endomorphisme deE,Ala matrice defenabes.necertaiement`aulervita
fbijectif⇔Ainversible⇔Ker(f) ={~0}

Re`glesdecalculsurlesmatricesd’applicationslin´eaires

Op´erations

Soientfetgdeux endomorphismes deE,AetBleurs matrices respectives
relativementa`unebasedonn´ee.
Th´eore`me10:f+ga pour matriceA+Bbame.seecttmeeˆadsn
λfa pour matriceλA
λf+µga pour matriceλA+µB

SoitL(E) l’ensemble des endomorphismes deE.
Surcetensemble,onad´efinil’additionetlamultiplicationparunre´el,defa¸conanalogueauxespacesvectoriels
de fonctions.
Leth´eor`emepr´ec´edentpermetdedirequecesop´erationsfonctionnentdelamˆemefa¸conquel’additionetla
multiplicationparunre´eldansMn(R), sinest la dimension deE ´ atio. Or pour ,Mn(R) est un
ces oper ns
espace vectoriel, de dimensionn2. On a donc :

TL’ensembleL(E),munida’letiddenoiledtulampltiaticnpiol,r´eearun
h´eor`eme11:est un espace vectoriel.

Cas de l’endomorphisme identique :
On noteidl’endomorphisme deEctvereuiua`ottuqudeEaocssceveruetece:imeˆm

∀u∈E id(u) =u

Alors dans n’importe quelle base deE, la matrice deidestIn(ou plus simplementIelir-d`at-esc’),irecmata
identite´deMn(R).
Exemple utile :leePotourr´utλ,A−λIest la matrice de l’endomorphismef−λid.
cetendomorphismeve´rifie:(f−λid)(u) =f(u)−λu.

5.2Compose´ededeuxapplicationsline´aires
Exemple :Soitf:R2→R2etg:R2→R3dnfie´spie:ar
f(x, y) = (2x−4y,5x+y) etg(x, y) = (3x+ 2y, x−y, x+y)
Alors

g◦f(x, y) =g(2x−4y,5x+y)
= (3(2x−4y) + 2(5x+y),(2x−4y)−(5x+y),(2x−4y) + (5x+y))
= (16x−10y,−3x−5y,7x−3y)
Relativement`alabasecanoniquedeR2et celle deR3, les matrices respectives def,g, etg◦fsont :
−4
A=512B=131−112C=−3716−−−3510

On constate que :BA=C
.
Onpeutgene´ralisercer´esultat:
´

BrigitteBonnet,Lyc´eeInternationaldeValbonne

Juillet 2010

The´ore`me12:

5.3

7

SoientE, F, Gdes espaces vectoriels de bases respectivesB1,B2,B3,
f:E→F,g:F→G,
Ala matrice defrelativement aux basesB1etB2,
Bla matrice degrelativement aux basesB2etB3,
alorsg◦fapour matriceBArelativement aux basesB1etB3.

Puissances d’un endomorphisme

Soitfun endomorphisme d’un espace vectorielEde dimension finie, etAla matrice def
une certaine baseB.
D’apr`eslethe´ore`mepr´ec´edent,f◦fa pour matriceA2dans cette meme base.
ˆ
On noteraf2l’endomorphismef◦f.
Demˆeme,onnote:fn=f◦f◦. . .◦fcamoleeedop´snfois l’endomorphismef.
Alorsfna pour matriceAnitevemtna`alabesdonn´ee.lare,

5.4Applicationr´eciproqued’unautomorphisme

relative t `
men a

Soitfiberiae´nilnoitaicplapneueivedjectEversEmeisdeomutphorueand-ri-ta`’cse,E, et soitAsa
matriceparrapport`aunebaseBe´.eodnn
Soitf−1roipecr´eedquppa’lnoitacilf, alors :

Th´eore`me13:La matrice def−1estA−1.

de´m:On sait quef◦f−1=id, donc siA0est la matrice def−1,AA0=Io`u,d’A0=A−1.

On retrouve le fait qu’un endomorphismefd’un espace vectoriel de dimension finie est bijectif si, et seulement
si, sa matrice (dans une base quelconque deE), est inversible.

5.5Groupeline´aire

La composition des endomorphismes est une loi de composition interne dans l’ensembleL(Eantsd.aOij`)´e
qu’elleestassociative(maispascommutative),etquel’e´l´ementneutrepourcetteloiinterneestl’endomor-
phisme identique, noteid.
´
Cet ensemble a-t-il une structure de groupe pour la composition des endomorphismes ?
Ilfaudraitpourcelaquetoutendomorphismeadmetteuner´eciproque,cequin’estlecasquepourlesauto-
morphismes. Donc :

Th´re`me14:ItselL’ensemb´lleepaepGgLr(oEu)pdeelsianu´etaoirmeopridheEde.msseEmuni de la loi◦est un groupe.
eo

Onremarqueraquecegroupen’estpasabe´lien,etquesastructurecorrespond`acelle
matrices inversibles deMn(R), sinest la dimension deE.

6

de

l’ensemble

des

Effet d’un changement de base sur la matrice d’un endomor-
phisme

SoitEun espace vectoriel de dimension finie,BetB0deux bases deE, et soitfun endomorphisme deE,
uun vecteur quelconque deE.

BrigitteBonnet,Lyce´eInternationaldeValbonne

Juillet 2010

8

SoientAla matrice deflernemevitaat`B
A0la matrice defalitertna`evemB0
Pla matrice de passage deBversB0
Xlatamceriol-cneonedcsoodrno´needseurelativement`aB
X0sdeeeoodrno´nnoenedcsrice-collamaturelativement aB0
`
Ytamaecirleeedsno´noorddesconne-colf(ur)leat`enemivatB
Y0dennoloc-ecirtamlaseocroodnne´seedf(u)relativementa`B0
D’apre`slesrelationsde´montre´esdanslesparagraphespr´ece´dents,ona:
X=P X0
Y=P Y0
Y=AX
Y0=A0X0
Onend´eduit:P Y0=Y=AX=AP X0o’d,`u:Y0=P−1AP X0
Encomparantavecladernie`redes´egalite´sci-dessus,onende´duit:

Theore`me15:A0=P−1AP
´

Exemple :

Soitfl’endomorphisme deR3noltmataireceraltivement`alabaseuqinonacedBest :
−−449768134
A=−8

Soitu1= (1,0,2),u2= (0,1,−1), etu3= (1,1,2).

1. Montrer que (u1, u2, u3) est une base deR3, que l’on noteraB0.
2. Calculerf(u1),f(u2), etf(u3iudealerrtameci).End´A0defbase`alalarevetintmeB0.
3. Donner la matrice de passagePde la baseB`esabalaB0, et calculerP−1.
4.V´erifiezqueA0=P−1AP.

Re´ponsepartielle:

A120=−201, A−101=−110, A121=363
donc :f(u1) =−u1, f(u2) =−u2, f(u3) = 3u3

La matrice def baserelativement ` lB0est don
a a c :
A0=−100

D’autre part le calcul donne :

etonve´rifieais´ement:A0=P−1AP.

P−1=23
−2

0
−1
0

−1
0
1

003

−1
−1
1

L’objectifdenombreuxprobl`emesseradetrouverunebasedanslaquellelamatriced’unendomorphisme
fnodee´n“sstplim,ee”arnpilreitucuoevedrtbaserunellee,siead,etsixleuqalsntrmalaleeedicfest
diagonale.

BrigitteBonnet,Lyc´eeInternationaldeValbonne

Juillet 2010

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