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Table des

1

2

3

4

5

6

7

Chapitre

mati`eres

7.

1

Inte´gration

Inte´graled’unefonctioncontinuesurunintervalleferme´
1.1 Rappels sur les primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2Fonctionde´finieparuneint´egrale..................................
1.3Me´thodesdecalculdesinte´grales..................................
1.3.1Utilisationdesformulesdede´rivationusuelles.......................
1.3.2Inte´grationparparties....................................
1.3.3 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4Prori´et´esdesint´egrales........................................
1.4.1 Relation de Chasles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2Line´arite´del’int´egrale....................................
1.4.3Positivite´del’int´egrale....................................
1.4.4Int´egraleetvaleurabsolue..................................
1.5 Sommes de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
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.
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.
.

Inte´graled’unefonctioncontinuesurunintervallesemi-ouvert,admettantunprolonge-
mentparcontinuit´esurl’intervalleferme
´
2.1Prolongementparcontinuit´e......................................
2.2Int´egraled’unefonctioncontinueparmorceaux...........................

Int´egralesg´en´eralis´ees,ouimpropres
3.1Inte´graled’unefonctionsurunintervallesemi-ouvert,sansPPC.................
3.2Int´egraled’unefonctioncontinuesurunintervalle[a,+∞[ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3Int´egraled’unefonctioncontinuesurunintervalle]− ∞, b] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4Int´egraled’unefonctioncontinuesurunintervalleouvert]a, blorospantpenemngs,[tnniraoceiu´t
3.5Etudedel’existenced’uneinte´grale..................................

Proprie´t´esdesint´lesg´ene´ralis´ees
egra
4.1 Relation de Chasles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2Linearite´.................................................
´
4.3Positivite´................................................
4.4Int´egrationparparties.........................................
4.5 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 Fonctions paires et impaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Convergencedesint´egralesimpropresdefonctionspositives

Int´egralesimpropresabsolumentconvergentes

Comparaison

Brigitte

Bonnet,

des

Lyc´ee

se´riesetdesinte´grales

International

de

Valbonne

Juillet

2
2
2
3
3
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9
9
9
9
9
9
9

10

11

12

2010

1

1.1

2

Int´egraled’unefonctioncontinuesurunintervalleferm´e

Rappels sur les primitives

On notefuneitnoofcnllde´reearevblia´eerleel.

De´finition1:La fonctionfadmet pour primitive la fonctionFsur l’intervalleIssi :
∀x∈I F0(x) =f(x)

•Sifadmet une primitiveFsurI, toute fonctionGtelle queG−Fest constante
Theoreme 1 :est une primitive defsurI.
´ `
•Pour tout couple (x0, y0) deI×R, il existe une unique primitiveHdefsurI
telle queH(x0) =y0
.

Exemple :La fonctionlnest la primitive dex7→1usrR+∗qui prend la valeur 0 en 1.
x

Th´`eme2:
eor

mis)

D´efinition2:

Toute fonction continue sur un intervalleIadmet une primitive sur cet intervalleI.

L’int´egraled’unefonctioncontinuefsur un intervalle [a, bl:eer´rembnoe]tsel
Zbf(t)dt=F(b)−F(ao)`uFest une primitive defsur [a, b].
a

(ad-

Remarques :
•caLitnoitnude´efsur [a, b] garantit l’existence de la primitiveFsur [a, b].
•ni’Lleraegt´enepd´needalpdsativirpmiisieechosque,puieevdsimitpxirdeueentrenceff´erladifest
constante.
•vitiuopeedsamirpttmetpenuisqadn’ususleelofcnitnoos´eesdeionscomptcnofsedetsixelI’sxeavtnrerpmi
a`l’aidedefonctionsusuelles:cependantl’int´egraleexiste,etonpeute´ventuellementencalculerunevaleur
approch´ee.
2
Exemple :la fonctionf:x7→e−x, qui est continue surR, admet une primitive surR, mais on ne peut
exprimercetteprimitive`al’aidedesfonctionsusuelles.

1.2Fonctionde´finieparuneint´egrale

Soitfune fonction continue sur un intervalleI, eta∈I.
x
The´or`eme3:La primitiveFdefsurItelle queF(a) = 0 est :F(x) =Zaf(t)dt.

Cons´equence:Commefest continue surI,Fest de classeC1surI.
v(x)
Zu(x)ns de classeC1surR.
Application :SoitF(x) =f(t)dtu`o,uetvsont des fonctio
•Ftrouel´efieineetnets´dxtel quefest continue sur [u(x), v(x)] (ou [v(x), u(x)]).
•SoitGune primitive defsur un intervalleItel queu(x) etv(xrtpanniet`enapa)I. Alors :

F(x) =G(v(x))−G(u(x))
F0(x) =v0(x)G0(v(x))−u0(x)G0(u(x))
=v0(x)f(v(x))−u0(x)f(u(x))

On´etablit`apartirdececalculuntableaudevariationsdeF.

BrigitteBonnet,Lyc´eeInternationaldeValbonne

Juillet 2010

1.3

1.3.1

Me´thodesdecalculdesint´egrales

3

Utilisationdesformulesded´erivationusuelles

Silafonction`aint´egrerestdelaformef, une de ses primitives est de la formeF

1.3.2

Int´egrationparparties

The´oreme4:
`

f=u0uα
f u0
=
u
f=u0eu

(α6=−1)

F uα+1
=
α+ 1

F=ln|u|
F=eu

Soientuetvdeux fonctions de classeC1sur [a, b]. Alors :
Zabu0(t)v(t)dt ]= [ab−Zb(t)v0(t)dt
u(t)v(t)u
a

:

Remarque :Il faut queuetvsoient de classeC1pour que les produits de fonctionsu0vetuv0soient continus,
etdoncint´egrablessur[a, b].

1.3.3 Changement de variable

Th´eor`eme5:

Soitϕunebijectioncontinue de [a, b] vers [ϕ(a), ϕ(b)] (ou [ϕ(b), ϕ(a)]) etfcontinue sur [a, b], alors :
(b)
Zbaϕ0(t)f(ϕ(t))dt=Zϕf(x)dx
ϕ(a)

En pratique :
•oinnotclrfa´ereRepϕtelle queϕ(tadet’lsn´tniarge`alelccaerul.nedive´noc¸afedtˆırapaap)
•Poserx=ϕ(t), alorsdx=ϕ0(t)dt(ou :t=ϕ−1(x) etdt=ϕ0(ϕ1−1(x)dx)
•dendidqupe´elsfadrnaoi`nnotc´egraintutceertocelampRetarpeen´e´tlageuqalitnax.
•Changer les bornes : Sit=a,x=ϕ(a), et sit=b,x=ϕ(b).
•ralet´egleinuvelun.eboetonalreluclaC
Application:Int´egralesdefonctionspairesetimpairessurdesintervalles[−a, a]

Th´eor`eme6:

Soitfcontinue sur un intervalle [−a, a] (a6= 0)
•Sifest paire,Z−aaf(t)dtZ0a
= 2f(t)dt
•Sifest impaire,Zaf(t)dt= 0
−a

Exemple d’appliZ1
cation :(x3−4x)px2+ 1dx= 0
−1

1.4Prori´et´esdesinte´grales

1.4.1 Relation de Chasles

The´ore`me7:

Pourtoutefonctionint´egrablesur[a, b], etce´redle[a, b],
Zabf(t)dt=Zacf(t)dt+Zbcf(t)dt

Exemple d’application :

Sifest une fonction continue sur[0,1] :

Z1nk−10Zkk+n1f(t)dt
0f(t)dt=X
=n

BrigitteBonnet,Lyce´eInternationaldeValbonne

Juillet 2010

(a < b)

Sifur[lbsegearni´tetsa, b],

b
abf(t)dtZadt.
≤ |f(t)|

, alorsZ

Cas particulier :Quanda= 0 etb= 1 :Sn= 1ketS0
n−11Xnf(kn) et la limite commune
nXf(n)n=n
k=0k=1
de ces deux sommes est :Z10f(t)dt.
nk21nX(k)2.
Exemple :SoitSn=Xn3=n n
k=1k=1
La fonctionf:x7→x2est continue sur [0,1] doncnl→im+∞Sn=Z10x2dx=31

Soitfcontinue sur [a, b],Sn=b−anX−1f(a+k b−a)
n n
The´or`eme12:k=0
b
n→+∞n→+∞S0n=Zaf( )
limSn= limt dt

Th´eor`eme11:

1.5 Sommes de Riemann

et

bn(a+k b−an), alors :
S0n=n−aXf
k=1

4

Juillet 2010

BrigitteBonnet,Lyce´eInternationaldeValbonne

Sifetsblesur[int´egraa, b´reeedxuslets’],isteilexmetMtels que :∀t∈[a, b]m≤f(t)≤Malors :
m(b−a)≤Zbaf(t)dt≤M(b−a)

1.4.4Int´egraleetvaleurabsolue

En particulier :

The´ore`me10:In´egalite´delamoyenne

Si deux fonctionsfetgint´egralbseus[ra, b] (a < b) sont telles que
b
∀t∈[a, b], f(t)≤g(t), alorsZf(t)dt≤Zbag(t)dt
a

Th´eor`eme9bis:

1.4.2

Conse´quence:t´egL’inc“noarelleo’esvrrerd”:

Th´eore`me8:

Line´arit´edel’int´egrale

1.4.3

Soientfetgdargeselb[rusxfeuctonnsiot´ina, b],λetµ:slarodeuels,xr´e
Zba(λf+µg)(t)dt=λZbaf(t)dt+µZabg(t)dt

Th´eor`eme9:

Positivit´edel’int´egrale

Attention !Il faut que “les bornes soient dans le bon sens” (a < b).

Sifr[abgrsuleitsee´tna, b], et que∀t∈[a, b], f(t)≥0, alors
Zbaf(t)dt≥0

2

2.1

5

Inte´graled’unefonctioncontinuesurunintervallesemi-ouvert,
admettantunprolongementparcontinuite´surl’intervalleferm´e

Prolongementparcontinuite´

Soitfcontinue sur ]a, b] ;fadmet unarcoentpngemrolopenitn´tiusur [a, b]
De´finition3emperloesinLtieemensleuotnsgptfelemitiamdtenuoctnra´tdeniiufr[sufienieaq,ubtesand]xtensdverloacnofalsra.noitgfiniepar:e´d
:
∀x∈]a, b]g(x) =f(x) etg(a) = limf(x)
x→a

Remarque :oprume,eOe´dntinfiˆmedfcontinue sur [a, bnemegnolorpleutnedt´uiinntcoartpe´eve[,unf
sur [a, b] en prenant la limite defenb.

Exemple 1 :Soitf:arefid´epni∀x∈]0,1]f(x) =xlnx.
Comme lxi→m0xlnx= 0,fetnniiu´tneptraocrolongemadmetunpgsur [0,niefid´1]:rap
g et(0) = 0∀x∈]0,1]g(x) =xlnx.
Etude de la fonctiong:Six∈]0,1]g0(x) = lnx+ 1, et lim0g(xx)=−∞, doncgtpasd´erivableen:0’nse
x→
la courbe degadmet au point (0,0) une demi-tangente verticale.
Calculdel’int´egraledegsur[0,1]:Commegestcontinuesur [0,1argeel’l,]´tniR10g(t)dtexiste.
Pourlacalculeronpensea`uneinte´grationparparties:
u(t) = lnt u0(t 1) =t
v0(t) =t v(t) =t22
maisun’est pas de classeC1sur [0,1] !
Z1Z1

Intuitivemen en re limg(t)dt
t,gardantlacourberepre´sentativedeg, on a :0g(t)dt=x0x

or pourx >0,uetvsont de classeC1sur [x,1], et donc :
1
Ztlntdt= [t22lnt]x1−Zx1t2dt=−x22lnx−[t42]1x=−x22lnx−41+x42
x
Comme lxi→m0x2lnx= 0,xli→m0Zx1g(t)dt=−:’o,d14Z1ntdt=−41
u`tl
0
G´eneralisation:
´

Th´eor`eme13:

˜
Soitfcontinue sur ]a, bolongementparcona]mdteattnnurpsur[it´etinua, b]eon´tf,
alorsfleraegt´innetumeda]rusa, b] et :
b
Zat)dt=xli→maZbxf(t)dt=Zabf˜(t)dt
f(

(Analogue sifest continue sur [a, b[ruse´tia,[attnmdtelononurpntpagemetinurcona, b].)

2.2

Integrale d’une fonction continue par morceaux
´

D´efinition4:

Th´eor`eme14:

fest continue par morceaux (ou par intervalles) sur [a, b] si, et seulement si,
il existe une subdivision [x0, x1, . . . , xn] (avecx0=aetxn=b) de l’intervalle [a, b] telle que :
•fest continue sur chaque intervalle ]xi, xi+1[ (0≤i≤n−1)
•La restrictionfidefa`]xi, xi+1[ admet un prolongement
˜
parcontinuit´efisur [xi, xi+1] pour toutitel que 0≤i≤n−1.

Sifest continue par morceaux sur [a, b],fr[lesuutendaemgearni´ta, b:rapeefini]d´
Zabf(t)dt=inX−01Zxixi+1f˜i(t)dt=in=X−10Zxixi+1fi(t)dt
=

En pratique :Cednlsahleraoitailutelison.lase´egrsinturleespo

BrigitteBonnet,Lyce´eInternationaldeValbonne

Juillet 2010

3

6

Int´egralesge´ne´ralise´es,ouimpropres

3.1Int´egraled’unefonctionsurunintervallesemi-ouvert,sansPPC
Exemple 2 :Soitf(x) =√11−xl,e’snmelbdede´efinitiondefest ]− ∞,1[ , et li→m1f(x) = +∞:fn’admet
x
pasdeprolongementparcontinuite´sur[0,1].
Peut-onde´finirl’inte´graledefsur [0,1[ ?
Onconside`relafonctionFsuier]dfin´e− ∞,1[ parF(x) =Z0xf(t)dt:
Fest une primitive def. Cherchons sa limite quandx→1 :
(1−t)
F(x) =Z0x√11−ttd=Z0x(1−t)−21dt="−1212#0x=−2√1−x+ 2
lxi→m1√1 lxi→m1(
−x donc= 0F x) = 2.
On remarque que cette limite est celle de l’aire comprise entre la courbe def, l’axe des abscissesOt, et les
deuxdroitesd’´equationst= 0 ett=x.
Onditquel’int´egraledefsur [0,1[ est convergente, et sa valeur est 2.
One´critalors:Z1√1−tdt= 2.
01

D´efinition5:

D´efinition6:

Soitfcontinue sur [a, b[, etF(x) =Zxaf(t)dt,opruotutr´eelxde [a, b[.
•SiFadmet une limite finie enbledeegraint´uel’on,tqdifsur [a, b[ est convergente, et on note :
Zabf(t)dt=xli→mbZxaf(t)
dt
•SiFn’a pas de limite finie quandx→b’i,l´entlargedefsur [a, b[ est divergente.

b
Soitfcontinue sur ]a, b], etF(x) =Zf(t)dtlee´rtuotruop,xde ]a, b].
x
•SiFadmet une limite finie enant´eel’iitqu,ondalgreedfsur ]a, b] est convergente, et on note :
Zbaf(t)dZbxf(t)dt
t= lim
x→a
•SiFn’a pas de limite finie quandx→a,t´egl’inderalefsur ]a, b] est divergente.

Exemple 3 :Soitf(t) =targeedel.L’int´1fsur ]0, ?1] est-elle convergente
Zx1t1dt=−lnx l, orxi→m0lnx=−∞large´tni’lcnod,eedfsur ]0,1] est divergente.
Remarque :n5ioaf,lctonnioDnalsdae´nfitiFest une primitive defalors qu’elle ne l’est pas dans la
de´finition6.

Exemple 4 :Soitαf,itisoptnselmeetec´irrntuα6= 1, etfα(t) =t1α.
L’inte´graledefαsur ]0, ?1] est-elle convergente
Zx1t1αdt=Zx1−αdt= [−t−αα++11 ]x1=−α1+1−−αx−α++11
t
•Siα >1, lxi→m0x−α+1= lxα1−1= +∞noc:t´egl’inestdraledivergente.
im
x→0
•Siα <1, lxi→m0x1−α= 0, donc lxi→m0Zx1t1αdt=1−1αgearelset:l’int´convergente.

The´ore`me15:

1dt
Z01tα

est convergente si, et seulement si,α <1

BrigitteBonnet,Lyce´eInternationaldeValbonne

Juillet 2010

3.2

7

Int´egraled’unefonctioncontinuesurunintervalle[a,+∞[

x
Soitfcontinue sur [a,+∞[, etF(x) =Zat)dt, pou +∞[.
f tout r´el( rxde [a,
e
´•SiFadmet une limite finie en +∞edale,otidnleuqtni’rge´fsur [a,+∞[ est convergente,
Definition 7 :et on note :Za+∞f(t)dt=xl→i+m∞Zxaf(t)dt
•SiFn’a pas de limite finie quandx→+∞argeedel’l,´tnifsur [a,+∞[ est divergente.

Exemple 5 :soitf(x) =e−x. La fonctionfest continue surR.
L’inte´graledefsur [0,+∞ ?[ est-elle convergente
Z0xe−tdt= [−e−t]0x= 1−e−x li, donc+m∞Z0xe−tdt= 1.
x→
L’inte´graledefsur [0,+∞[ estconvergenteetZ0+∞e−tdt= 1.
Exemple 6 :Soitf(x 1) =xed´tgearel.L’infsur [1,+∞ ?[ est-elle convergente
Z1xt1dt= lnx li, et+m lnx= +∞ietnecttodcn,rge´eelatsdivergente.
x→ ∞
Exemple 7 :Soitfα(t) =t1α, avecα6=1.L’int´egraledefαsur [1,+∞[ est-elle convergente ?
Zx1dt=α1−1−x−α+1
1tαα−1
1
•Siα >1,xl→i+m∞x−α+1=xl→i+m∞xα−1= 0
inte´graleconvergeetZ+∞t1αdt=α1−1
donc l’
1
•Siα <1, limx1−α= +∞ ent, donc l’in
x→+∞g.eegt´leratdeseriv

The´ore`me16:Z+∞1 eulement si,α >1
1tαdtest convergente si, et s

Remarque 1 :ulesr´Lepprocher6est`araoe`rme1eatdttu´heseme`lrushtudroe´eRsdmanines´ieerl ´rie
:a se
determege´ne´raln1αest convergente si, et seulement si,α >1. Voir le paragraphe 7.

Remarque 2 :tnodsnoitcnofsed+entemililanaDslesexemplespr´e´cdenesto,anrpsi∞est 0. Soitf
une fonction telle que limf(x) =`, avec` >0.
x→+∞
On a alors :∀ >0∃A∈R > A/ x⇒`− < f(x)< `+.
Prenonstel que`− >0, alors :Zxaf(t)dt=ZAaf(t)dt+Zxf(t)dt
A
x
et six > A,ZAf(t)dt >(x−A)(`−), doncZaxf(t)dt >ZAaf(t)dt+ (x−A)(`−), et commexl→i+m∞(x−
A)(`−) = +∞.edivergetne´rglal,i’
Enutilisantlafonctionoppos´ee,onobtientlemeˆmere´sultatlorsque` <0.

Th´eore`me17:

+∞
SiZf(t)dtest convergente, alorsxl→im+∞f(x) = 0.
a

Attention !lar´eciproqueestafsuesp:raxemelp´ent’ielealgr
que li+mx 0.1 =
x→ ∞

BrigitteBonnet,Lyce´eInternationaldeValbonne

de

x

7→

1
x

sur

[1,+∞[

est

divergente, alors

Juillet 2010

Remarque 1 :utype]rvallesdadxunietsn´’tenefin´eioitceedtta,+∞[, ]− ∞, b[, ]− ∞,+∞[.
Remarque 2 :re”“udsniopcedtupuoneurepd´deenpantarel´tgeavelteasrgenonvel’incedecaLcchoisi,`a
causedelarelationdeChaslessurlesint´egrales.Onchoisiradonclere´elcle plus simple possible.
Exemple 9 :Soitf(x) =√1x−x2. La fonctionfnfie´dtser]suueinntcoetie−1,1[.
Pour´etudierlaconvergencedel’int´egraledefsur ]−1,´diesentlr´emvnreseocseedegcngr´entsiesal1no,[ute´
epa
defsur [0,1[ et sur ]−1,0].
Z0x√1t−t2dt= [−p1−t2]0x= 1−p1−x2
Doncl’inte´graledefsur [0,1[ est convergente et vaut 1.
Z0f(t)dt=−1 +p1−x2rgvetveetauecongralnt´eemeixu`ialedodcn−1.
x
1
Conclusion:l’inte´graledefsur ]−1,1[ est convergente et :Z−11f(t)dt=Z−0f(t)dt+Zf(t)dt=−1 + 1 = 0.
1 0

BrigitteBonnet,Lyc´eeInternationaldeValbonne

Juillet 2010

3.4

•Sifest continue sur [a, b],orpee`elbmdsap(int´graleiefine´d.)
e
•Sifadmet un PPC sur[a, b],fuabl`expromenser(oe`maa`enni’lge´tleraPPdueCdfseutenni´tgearelui,q
d´efinie.)
b
•Sifest continue sur ]a, b], sans PPC,e`lborpmeena.udien´et(Oarel´tge’lniZxf(t)dtet sa limite quand
xtend versa.)
•Sifest continue sur [a, b[,erepbno`lmeb.’int´egrale(nOe´utidleZxaf(t)dtet sa limite quandxtend vers
b.)

3.5Etudedel’existenced’uneinte´grale
b
Soit`ae´tudierl’existencedeZf(t)dt, aveca < besrnbo,rge´selafinies.Pourlesinte´evtneullmetnni
a
ge´ne´ralisees,leprobl`emedel’existencedel’inte´graleseconfondavecceluidesaconvergence.Onpeutdonc
´
r´esumercommesuit:

Inte´graled’unefonctioncontinuesurunintervalleouvert]a, b[, sans prolon-
gementparcontinuit´e

Soitfune fonction continue sur ]a, bladeei’tne´rg.L[fsur ]a, b[ estconvergentesi, et seulement si,
pouruncertainre´elcde ]a, b[l´tgesenidsearelfsur ]a, c] et sur [c, b[ sont toutes deux convergentes.
c
Dans ce cas :Zabf(t)dt=Zf(t)dt+Zbcf(t)dt.
a
Siaumoinsunedecesdeuxinte´gralesestdivergente,l’inte´graledefsur ]a, b[ est divergente.

De´finition9:

Z−0∞eαtdtest convergente si, et seulement si,α >0, et alors :Z−0∞eαtdt= 1α
t convergente si, et seulement si,α >0 :tdt= 1
Z+0∞e−αtdtes , et alorsZ+0∞e−αα

Th´eor`eme18:

Zxb)dtee´rtuotlpour,xde ]− ∞, b].
Soitfcontinue sur ]− ∞, b], etF(x) =f(t
•SiFadmet une limite finie en−∞,ondeleni´tgearidqteu’lfsur ]− ∞, b] est convergente,
n notZ−b∞=xl→i−m∞Zbxf(t)dt
et o e :f(t)dt
•SiFn’a pas de limite finie quandx→ −∞i’l,e´tnlargedefsur ]− ∞, b] est divergente.

De´finition8:

Inte´graled’unefonctioncontinuesurunintervalle]− ∞, b]

3.3

8

4

9

•Sifest continue sur ]a, b[, sans PPC,uxeaeml`rnbouxde.serpbo(On “coupe” l’intervalle en un pointc
eton´etudies´epar´ementlesconvergencesdesdeuxinte´grales.)

Proprie´t´esdesintegralesge´n´eralis´ees
´

4.1 Relation de Chasles

LarelationdeChaslesrestevraiepourlesint´egralesge´n´eralis´eesconvergentes.
1
Exemple :Z+0∞e−2(t−1)dt=Ze−2(t−1)dt+Z1+∞e−2(t−1)dt
0

4.2Lin´earit´e

Lalin´earit´erestevalablepourlesinte´gralesge´n´eralise´esconvergentes, en particulier la somme de deux
int´egralesconvergentessurunmeˆmeintervalleestuneinte´graleconvergente.

4.3Positivite´

Lapositivit´edel’int´egralerestevalablepourlesint´egralesge´ne´ralise´esconvergentes, et en particulier, sif
etgfonctionsdontlesni´tgearelssru[tnosxueda,+∞[ sont convergentes telles que :∀t∈[a,+∞[f(t)≤g(t)
alors :
Za+∞f(t)dt≤Za+∞g(t
)dt

4.4Inte´grationparparties

Attention !elsgearbalavtse’nseitrat´inesrlouepqule’Ltionparpint´egraeise´nfid.
Pourcalculeruneint´egraledutypeZa+∞f(t)dt, par exemple, on peut calculerZaxf(t)dturapt´egneinonrati
par parties etensuiteettecedearge´tnilecualcitimalrleluqnadxtend vers +∞.

4.5 Changement de variable

Lechangementdevariablerestevalablepourcalculeruneint´egralege´ne´ralis´eeconvergente,`aconditionde
remplacere´ventuellementle“changementdebornes”paruncalculdelimites.
Exemple :Pour calculerZ+0∞e−√tdt, on prendu=√t,du1=2u dt
Changement de bornes : sit= 0,u= 0, et sit→+∞, alorsu→+∞
donc :Z+0∞e−√tdt=Z+0∞2ue−udu

4.6

Fonctions paires et impaires

The´ore`me19:

Soitfcontinue sur ]−a, ao`u[,airtcletsrne´seut.ifitostpenem
•Sifest paire:
Sil’int´egraledefsur [0, avnreegtne[tsocdelaent’igr´eale,slorfsur ]−a, a[ est convergente, et :
Z−aa)dt= 2Z0af(t)dt
f(t
Sinon,l’inte´graleestdivergente.
•Sifest impaire:
Sil’int´egraledefsur [0, aroanetgcdreglveetle’ernstl´o,ianse[fsur ]−a, a[ est convergente, et :
Z−aaf(t)dt= 0
Sinon,l’inte´graleestdivergente.

Lade´monstrationsefait`al’aided’unchangementdevariable(voirlesinte´gralesde´finies).

BrigitteBonnet,Lyc´eeInternationaldeValbonne

Juillet 2010

5

10

Convergencedesinte´gralesimpropresdefonctionspositives

On suppose dans ce paragraphe quefune fonction positive et continue sur l’intervalle semi-ouvert [est a, b[
ou [a,+∞[.

Th´e`me20:
eor

(sadmihTroe´eme`)

Sifest croissante et majoree sur [a, b[ (resp. sur [a,+∞[ )
´
alorsfadmet une limite finie enb.

Sifest continue et positive sur [a, b[ (resp. sur [a,+∞elixtsue[e)sti’nr´eelMtel que
x
∀x∈[Za
Th´eor`eme21:[a, b f(t)dt≤M
alorsl’int´egraledefsur[a, b[ est convergente.

d´emeuqilppa’dtffiuslI0`e2nemiro`cetoohn´aeftarll:x7→Zxf(t)dt.
a

Theoreme 22 :
´ `

Soientfetgdeux fonctions positives sur [a, b[ telles que :
∀t∈[a, b[f(t)≤g(t). Alors :
•gearelediS’lni´tgsur [a, be,ntgeeregt´inl’vnoctse[edarelfsur [a, b[ est convergente.
•Si’lie´tnlargedefsur [a, b[tdeserivledeegtn,e’lni´tgeargsur [a, b[ est divergente.

x
d´Dans le premier cas, pour toutxde [a, b[,Zaxf(t)dt≤Zg(t)dt≤Zabg(t)dt
em:
a
doncenappliquantleth´eore`me21,l’int´egraledefsur [a, b[ est convergente.
Dansledeuxi`emecas,commepourtoutxde [a, b[Zxf(t)dt≤Zxag(t)dt,
a
si limZxaf(t)dt= +∞, alors lxi→mbZaxg(t)dt= +∞.
x→b
Exemple 1 :Soitf(t) =e−t2ge´telar.ni’Ldefsur [0,+∞[ est-elle convergente ?
∀t∈[1,+∞[t2≥td’,:u`oe−t2≤e−t
+∞
Or on saitZ1oncZ1+∞e−t2dtautrete´hoe`rme2e.2’Daustidsspr’asl`ee’l
quee−tdtest convergente, d
1
part la fonctionfestcontinueteinl’urfelealrv0[mre´s,1], doncZf(t)dtee´iengtraslteun´efinied. En utilisant
0
la relation de Chasles :
Z+0∞f(t)dt=Z01f(t)dt+Z+1∞f(t)dt
doncl’inte´graledefsur [0,+∞[ estconvergente.

Laderni`erepartieduraisonnementpeutseg´e´alier:
ner s

Soitfcontinue sur [a, b[, etc´eelunrde[a, b[.
The´ore`me23:SiZbf( )dtest convergente, alorsZabf(t)dt
t
c

The´ore`me24:

est convergente.

Soitfetgdeux fonctions continues sur [a, b[
•Sif=b◦(g) et siZabg(t)dtest convergente, alorsZbaf(t)dtaussi.
•Sif(t)b∼g(tsralet´egnixuedselsrola,)Zbaf(t)dtetZbag(t)dttuna.reemtdmeˆesno

f(t)
de´m:•Sif=b◦(g), alors lti→mbg(t 0) =

BrigitteBonnet,Lyce´eInternationaldeValbonne

Juillet 2010

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