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MPSI-Electrocin´etiqueI-Circuitsline´airesenr´egimetransitoire

Circuitsline´airesenre´gime
transitoire

Tabledesmatie`res

1

2

3

4

5

6

7

Conditionsinitialesetcontinuit´e

Re´gimelibreducircuitRC
´
2.1 Evolution de la tension aux bornes du condensateur . . . . . . . .
´
2.2Evolutiondel’intensit´educourant..................
´
2.3Etud´´etique...........................
e energ

Re´gimelibreducircuitRL
´
3.1Evolutiondel’intensite´ducourant..................
´
3.2 Evolution de la tension aux bornes de la bobine . . . . . . . . . . .
´
3.3Etudee´nerg´ti
e que . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

R´egimelibreducircuitRLCse´rie
´
4.1Equationdiff´erentielle.........................
4.2Diffe´rentsre´gimes............................
´
4.3Etudee´nerge´tique...........................

R´eponsed’uncircuitRCa`une´chelondetension
´
5.1 Evolution de la tension aux bornes du condensateur . . . . . . . .
´
5.2Evolutiondel’intensit´educourant..................
5.3 Bilan ´e ´tique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
nerge

R´eponsed’uncircuitRLa`un´echelondetension
´
6.1Evolutiondel’intensite´ducourant..................
´
6.2 Evolution de la tension aux bornes de la bobine . . . . . . . . . . .
6.3Bilane´nerg´ti...................
e que . . . . . . . . .

R´eponsed’uncircuitRLCse´rie`aun´echelondetension
7.1 Tension aux bornes du condensateur . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2Bilan´energ´etique............................

DamienDECOUT-Dernie`remodification:janvier2007

1

1
1
2
2

2
2
3
3

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5
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5
6
6
6
6
7
7

7

1

Conditionsinitialesetcontinuit´e

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Onva´etudiercequisepasseentreentredeuxr´egimescontinus=re´gimetransi-
toire.Lesgrandeurse´lectriquesnesontplusconstantes.Rappelonslesconventions
etre´sultatspourlabobineetlecondensateur:

L inductance en henry (H).

Ccapacit´eenfarad(F).

i

i

q=Cu

L

u

i
u=tdLd

C

q
u

i=dqdt=Cdud
t

Lescircuitse´tantline´aires,toutegrandeure´lectriquex(tarepdte´rcti)se
unee´quationdiff´erentiellelin´eaire`acoefficientconstant.
Ond´eterminelesconstantesd’inte´gratiˆditionsinitialesen
on grace aux con
utilisant :
–lacontinuit´edelatensionauxbornesducondensateur(sinoni=udtCd
tendrait vers l’infini ce qui est physiquement impossible) ;
–lacontinuit´edel’intensite´ducourantdanslabobine(sinonu=dtdiLtendrait
vers l’infini ce qui est physiquement impossible).

´
MPSI-Electrocine´tiqueI-Circuitslin´eairesenre´gimetransitoire

2

2.1

Re´gimelibreducircuitRC

´
Evolution de la tension aux bornes du condensateur

E

I

C

U

R

E

i
q
C

u

R

Lecondensateurestinitialementcharge´sousunetensionEcontgimeinu,e´rnE.
le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvertU=EetI= 0 (ER
danslare´sistance).
At´hcsrdetauetancesislar´dansrretni’lervuono,nsdeonec,lurteup0=:e
e arge

u=Ri=−R dq=−RudCdt
dt
uecτ=RC
ddtu+τ= 0 av
La solution est de la formeu(t) =Aexp(−tτ).
u(0) =A=E.teurnoituntiapcrdnocasnenrobudseionsuxnade´etela
Finalement :
u(t) =Eexp(−tτ)

u(t)

E

τ

DamienDECOUT-Dernie`remodification:janvier2007

t

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E
udd=−
tt=0τ
Latangentea`l’origined’e´quation−Et+Ecoupe l’axe des abscisses ent=τ.
τ
D’autre part :
pourt=τ,u=Eexp(−1) = 037E
pourt= 2τ,u=Eexp(−1) = 014E
pourt= 3τ,u=Eexp(−1) = 005E

2.2

´
Evolutiondel’intensit´educourant

i=−qdtd=−dCdut, ce qui donne :

E
R

i(t)

τ

i(t) =Eexp(−tτ)
R

t

Lecondensateurassurelacontinuite´delatensiona`sesbornesmaispascellede
l’intensit´educourant.

´
MPSI-Electrocin´etiqueI-Circuitslin´eairesenre´gimetransitoire

2.3

´
Etude´energ´etique

Calculonsl’e´nergiere¸cue(onestbienenconventionre´cepteurpourlare´sistance)
etdissipe´epareffetJouledanslar´esistance:

W=ZPdt=Z


uidt=RE2Z0∞exp(−2tτ)dt=ER2exp−(−22ττt)0

W=12CE2´eneur.ednotasnnadecelsasag´eingiermmee

3

3.1

R´egimelibreducircuitRL

´
Evolutiondel’intensite´ducourant

E

R

I

U

L

R

i

u

L

Enr´egimecontinu,labobinesecomportecommeuninterrupteurferme´U= 0 et
I=ER.
At= 0, on supprimeE:

u=L di=−
dtRi

di i0 avecτ=LR
dt+τ=

La solution est de la formei(t) =Aexp(−tτ).
i(0) =A=ERpaed’ltie´ituncrnourcodu´eitnstein.enibobalsnadtna
Finalement :
i(t) =REexp(−tτ)

DamienDECOUT-Derni`eremodification:janvier2007

3.2

E
R

i(t)

τ

´
Evolution de la tension aux bornes de la bobine

i
u=L d, ce qui donne :

u(t)

−E

τ

u(t) =−Eexp(−tτ)

t

page 3/8

t

´
MPSI-Electrocine´tiqueI-Circuitsline´airesenre´gimetransitoire

3.3

´
Etudee´nerg´etique

Calculonger¸e(onestenconventiong´ene´rateurpourlare´sistance)et
sl’e´neriecu
´Jouledanslar´esistance:
W=ZPdt=Z−uidt=RE2Z0∞exp(−2tτ)dt=ER2exp(−−22tττ)0∞
E2L
W21R R=21LI2´eegiereninasagmmlsnadee´.eniboba
=

4

4.1

R´egi

libreducircuitRLCse´rie

´
Equationdiff´erentielle

E

q

C

i

u

R

(1)u=Ri+L di
dt
avecu=qCeti=−qdddonneCq=−tdRdq−dLd2t2qsoit :
t
(2)d2q R dq1
dt2+L dt+qCL= 0
Avecq=Cu, (2) donne :

L

dd2t2u+LRudtd10
+LCu=
End´erivant(1)etenutilisantu=qCeti=−tdqd, on obtient :
dd2idRit+L1C i0
2+L dt=

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4.2

Diffe´rentsre´gimes

regime
´
Q >21
pseudo-pe´riodique
Q <1
2
ap´eriodique
1
=
Q2
critique

Qital.´eetrueduqlllefecas’appe

2d2t2Ru+ 22α=tdud+1ωe20tuQ=0=ω0
d
α= ,ω0
u= e−αt(Acos(Ωt) +Bsin(Ωt))
Ω2=ω20−α2
u= e−αt(A0eΩ0t+B0e−Ω0t)
Ω02=α2−ω02
u= e−ω0t(A00t+B00)

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Ond´eterminelesconstantesgrˆaceauxconditionsinitialesenutilisantlaconti-
nuite´delatensionauxbornesducondensateuretlacontinuite´del’intensit´edu
courant dans la bobine.

u(t)

E

Lapseudo-p´eriodeestegalea`T= 2π=
´
ω


=
ω20−α2ω0

t


1
1−4Q2

´
MPSI-Electrocin´etiqueI-Circuitslin´eairesenre´gimetransitoire

4.3

´
Etude energetique
´ ´

En multipliant (1) pari, on obtient :

ui=R2+L di
idti

commei=−tdqdetq=Cu, on a :

−tududC=Ri2+L di
d i
t
ddt21Cu2+21Li2=−Ri2

L’´energieemmagasine´edanslecondensateuretlabobine`auninstantt,W(t) =
21Cu22+1Li2ffeteoJludenalsaeestdissip´eepartudsruoclle,spme,dauueinim
r´esistance.

5

5.1

Re´ponsed’uncircuitRCa`une´chelondetension

E

´
Evolution de la tension aux bornes du condensateur

R

U

C

I

E

R

u

i
q

C

Lecondensateurestinitialementde´charg´e(R´egimecontinuU= 0 etI= 0).
At= 0, on ferme l’interrupteur et le condensateur se charge :

E=Ri+u=RCdtdu+u

du u E
dt+τ=τ

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avec

τ=RC

page 5/8

La solution est de la formeu(t) =u(h)+u(p)=Aexp(−tτ)+E.
u(0) =A+Endcoduesurtesaen.0=parcontinuit´edealetsnoianxuobnr
Finalement :

u(t)

E

τ

u(t) =E(1−exp(−tτ))

´
5.2Evolutiondel’intensit´educourant

i= +qddt=dCdutce qui donne :

ERexp(−tτ)

t

´
MPSI-Electrocin´etique

5.3

E
R

i(t)

I-Circuitslin´eairesenr´egimetransitoire

τ

Bilane´nerg´etique

MultiplierE=Ri+uparidonne :

Ei=Ri2+ui

t

ou`Eiestlapuissancefournieparlege´ne´rateur(E(-i)puissancere¸cue);
Ri2uiapansstlesidtepissereceuc¸ar´esist´eedanslnaec;
uitsalupsiemmteeecue¸erncsacelsnadee´nisagaeur.nsatonde

Z0∞Eidt=ER2Z0∞exp(−tER2RC C
τ)dt= =

E2

Z0∞Ri2dt=RRE22Z0∞exp(−2tτ)dt=RRE22R2C=12CE2

Z0∞uidt=RE2Z0∞(exp(−tτ)−exp(−2tτ))dt=RE2(RC−R2C=)21CE2

L’´energiefournieparleg´en´erateurserepartit´equitablemententrelare´sistance
´
et le condensateur.

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6

6.1

Re´ponsed’uncircuitRLa`une´chelonde

E

´
Evolutiondel’intensit´educourant
R I

U

L

E

R´egimecontinuU= 0 etI= 0.
At= 0, on ferme l’interrupteur :
E=Ri+didL
t
di+i=Eavecτ=LR

R

page 6/8

tension

i

u

dt τ L
E
La solution est de la formei(t) =i(h)+i(p)=Aexp(−tτ) +R.
i(0) =A+REtnniraoc=p0.labobinent’isient´uieledtnarsnadde´tuocu
Finalement :
i(t)ER(1−exp(−tτ))
=

E
R

i(t)

τ

t

L

´
MPSI-Electrocine´tiqueI-Circuitslin´eairesenr´egimetransitoire

´
. tion de la tension aux bornes de la bobine
u=tidLdce qui donne :
u(t) =Eexp(−tτ)

u(t)

E

τ

6.3Bilane´nerge´tique

MultiplierE=Ri+uparidonne :

Ei=Ri2+ui

t

o`uEiestlapuissancefournieparlege´ne´rateur(E(-i)puissancerec¸ue);
Ri2nctae;r´laisesee´psnaddteeissie¸cuncerissalapuets
uimagasin´¸cueetemssnaecerseltpaiunslaeedane.bobi
Quandt→ ∞ecimegr´s’nutiontilbate´cevaUevuannuoI=ERdonc :
Z0∞Eidt→ ∞

Z0∞Ri2dt→ ∞
Z0∞Eiutd2Z∞(exp(−tτ)−exp(−2tτ))dt=ER2(RL−
=
R0

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2RL) = 1LI2
2

7

7.1

Re´ponse
tension

d’un

circuit

RLC

se´rie

Tension aux bornes du condensateur

E

L

Lecondensateurestinitialementd´echarge´.
At= 0, on ferme l’interrupteur :
E=Lidd+Ri+usoit :
t

d21
dt2q+tqdLdR+CqL

uetitnefiire´v.tionequaeme´lamˆ
La solution est de la formeq(t) =q(h)+q(p).
Pourq(h)vori´rgemilebier.
q(p)=CE.
Parexempleenre´gimepseudo-p´eriodique:

R

E
=
L

a
`

q

C

un

i

page 7/8

´echelon

de

MPSI

´
-Electrocine´tiqueI-Circuitsline´airesenr´egimetransitoire

E

u(t)

7.2Bilane´nerg´etique
MultiplierE=tdiLd+Ri+uparidonne :

t

Ei=diLidt+Ri2+dCduut
o`uEiestlapuissancefournieparlege´ne´rateur(E(-i)puissancerec¸ue);
d
Ldiiseuisstlapre¸cancesigaeen´etuemaemenib;snadobal
t
Ri2ceanstsi´earslan;ssancereestlapuisspie´dec¸euteid
uiagastemmcueeere¸noedlscedenanie´cnassiupaltsesntaue.r
Quandt→ ∞vetactnocsunite´’ilbaUnnouveaur´egimeU=EetI= 0 donc :
Z0∞Lidttddi=21Li20∞= 0
Z0∞tdutCdud=21Cu20∞= 1CE2
2
Pourlesdeuxautresint´egrales,ilfautexpliciteru(t) eti(t) :

u(t) = e−αt(Acos(Ωt) +Bsin(Ωt)) +E
d
commei(t) =tCdu, on a :
i(t) =C−αe−αt(Acos(Ωt) +Bsin(Ωt)) + e−αt(−AΩ sin(Ωt) +BΩ cos(Ωt))

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u(0) =A+E= 0⇒A=−E

i(0) =C(−αA+BΩ) = 0⇒B=αΩEd’ou :
`
2
i(t) =CEe−αtsin(Ωt)αΩ + Ω

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Z0∞Eidt=CE2
(voircalculMAPLE)doncenutilisantlebilan,ladernie`reint´egralevaut:
Z∞Ri2dt1=2CE2

0