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Cours - Electrocinétique II - 1ère année de CPGE scientifique, voie MPSI, Régime sinusoïdal forcé

De
7 pages

Cours d'électrocinétique basé sur le programme de physique de 1re année de la voie MPSI des CPGE. Ce cours est la suite du cours "Electrocinétique I"; il est composé de 2 chapitres : (1) Régime sinusoïdal forcé (2) Filtres du premier ordre

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Ajouté le : 01 janvier 2010
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´
MPSI-Electrocin´etiqueII-Re´gimesinuso¨ıdalforce´

e s uso
R´egimin¨ıdalforce´

Tabledesmatie`res

1

2

Roˆleg´ene´riquepourl’e´tudedesre´gi´riodiquesforc´es
mes pe

Signauxsinusoı¨daux
2.1Amplitude,phase,pulsationetfr´equence.............
2.2 Valeur moyenne et valeur efficace . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Notation complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 R ´ ntation de Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
eprese

. .
. .
. .
. .

´
3EtudeduRLCse´rie
3.1Re´gimesinuso¨ıdalforce´........................
3.2Simplificationapporte´eparlanotationcomplexe..........
3.3R´eponseenintensit´e-R´esonanced’intensit´e.............
3.4R´eponseencharge-R´esonancedetensionauxbornesduconden-
sateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4Impe´dance
4.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
´
4.2DipˆolesR,LetC............................
4.3G´ene´rateurs...............................

5Re´seauxlin´eairesenr´egimesinusoı¨dalforc´e
5.1 Loi des noeuds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Loi des mailles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3Associationse´rie-Diviseurdetension................
5.4Associationparall`ele-Diviseurdecourant..............
5.5 Loi des noeuds en terme de potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6G´ene´rateurse´quivalentsdeThe´veninetNorton...........

6Puissanceenre´gimesinuso¨ıdalforce´
6.1Puissanceinstantan´ee-Puissancemoyenne-Facteurdepuissance
6.2 Notation complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

DamienDECOUT-Derni`eremodification:janvier2007

1

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3

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5

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7

1

page 1/7

Roˆleg´ene´riquepourl’e´tudedesre´gimespe´riodiques
forces
´

Nousallonsreprendrel’e´tudedur´egimelibreenajoutant`al’e´quationdiffe´rentielle
unsecondmembresinusoı¨dal:

x¨ + 2αx+ω20x=Acos(ωt)
˙
p´eriodiep´eriodeT= 2π-biomecunpemoemricee´rctu’s
Tout signal ques(t) dω
naisonline´airedesignauxsinusoı¨daux(s´eriedeFourier):

s A0n=∞Ancos(nωt) +Bnsin(nωt))
(t)=2+X(
n=1

Sinousrajoutons`al’´equationdiffe´rentielleunsecondmembrepe´riodique(non
sinuso¨ıdal),connaissantlasolutionavecsecondmembresinusoı¨dalnouspouvons
ende´duirelasolutionavecsecondmembrepe´riodique.
EneffetL’e´quationdiffe´rentielle´etantlin´eaire,lasolutionavecsecondmembre
pe´riodiquepeuts’e´crirecommeunecombinaisonlin´eairedessolutionsavecsecond
membresinusoı¨dald’ou`lerˆoleg´en´eriquedur´egimesinusoı¨dalforce´pourl’´etude
desr´egimesperiodiquesforc´es.
´
2Signauxsinusoı¨daux
2.1Amplitude,phase,pulsationetfre´quence
Unegrandeursinuso¨ıdalepeut-ˆetrerepre´sente´epar:

x(t) =Xmcos(ωt+ϕ)

´
MPSI-Electrocin´etiqueII-Re´gimesinusoı¨dalforce´

Xm

0

x(t)

T

Xmest l’amplitude(dimension de la grandeurx)

ωest lapulsationenrads−1

ωt+ϕest laphasetant`al’inst(en radian)

ϕginideseesa`’lroestlaphadira)anmpteens(

t

Laee´pdoireleluqleedalobtueeaudur´stlalleemeterop
duitidentiquea`lui-meˆme:
T= 2π
ω

en seconde (s)

signal se repro-

Laecnefr´equde:econcucyseo(apsrel)somenedbr´eepodriisudlangltse

en hertz (H z)

2.2

f=T 21 =ωπ

Valeur moyenne et valeur efficace

Ond´efinitd’unemanie`reg´en´eralepourunsignalp´eriodiquelavaleur moyenne
note´e< x >par :
< x(t)>=T1Z0Tx(t)dt

DamienDECOUT-Derni`eremodification:janvier2007

< x >= 0 pour une fonction sinuso¨ıdale.

un

Onde´finitd’unemanie`reg´ene´ralepour
efficace´eotneXpar :
T1ZT(t)dt
X2=x2
0
Pour une fonction sinuso¨ıdale :

2.3

X2=X2m1T⇒
T2

Notation complexe

signal

X=Xm
2

p´eriodique

page 2/7

la

Toute grandeur sinuso¨ıdale de pulsationωe:rmussofolateerimeseptuˆ-

x(t) =Xmcos(ωt+ϕ)

Larepre´sentationcomplexedex(t) est la fonction complexe

avecj2=−1

x(t) =Xmexpj(ωt+ϕ) =Xmexpjωt

Xm=Xmexpjϕest l’amplitude complexe, son module est
l’amplitude de la grandeurx(t) :

Xm=|Xm|

valeur

´egale

sonargumentest´egalea`laphase`al’originedestempsdelagrandeurx(t) :

ϕ= arg(Xm)

`
a

Leretour`alagrandeurre´elles’effectueenprenantlapartiere´elledelafonction
complexe :
x(t) =Re{x(t)}

AttentionXm6=Re{Xm}

´
MPSI-Electrocin´etiqueII-Re´gimesinuso¨ıdalforc´e

2.4Repre´sentationdeFresnel

Larepre´sentationdeFresneldex(t) =Xmcos(ωt+ϕ) est la
g´eom´etriquedeXmdans le plan complexe.

3

3.1

´
EtudeduRLCse´rie

R´egimesinusoıdalforc´e
¨

e(t)

R

L

C

i

q

repre´sentation

u

Nousavonsde´j`ae´tudi´eler´egimelibree(tednrae´e0lt=)helon´ece`aupons
tensione(t) =E.
Nousallonse´tudierlecaso`ue(t) =Emcosωt

La solution est la somme

q 2¨ +αq˙ +ω20q=LEmcosωt

q=q(h)+q(p)

q(h)eqbrlimearspdiuiobuatıˆaleuqedtucpsnoroere´igadruseuqτ21=
α

q(p)lefaroemre,esedticrti`ultilupaonos,Qmcos(ωt+ϕ)

Enr´eec´orfladı¨osunisemigencunhedoherco,cnapurdasibierelimegr´le,
solution de la forme
q(t) =Qmcos(ωt+ϕ)
Lar´eponseq(tˆmmepeluasitnouq)`alaitxc’eelnioate(t`etser;)mrete´dainer
l’amplitude et le dephasage.
´

DamienDECOUT-Derni`eremodification:janvier2007

En reportantq(td)nadiff´tionequasl’´ortno,elleitnereeuv

page 3/7

−Qmω2(cosωtcosϕ−sinωtsinϕ)−2αQmω(sinωtcosϕ+ cosωtsinϕ)

+ω2Qm(cosωtcosϕ−sinωtsinϕ) =ELmcosωt
0
En identifiant les termes en cosωtet les termes en sinωt
((ω2−ω2)Qcosϕ−2αω Qsinϕ=Em

0m mL
−2αω Qmcosϕ−(ω20−ω2)Qmsinϕ= 0
cosLEϕm(ω02−ω2)Q
=[(ω20−ω2)2+ 4α2ω2]m
m
−2LαEω
sinϕ([=ω20−ω2)2+ 4α2ω2]Qm
−2αω
tanϕ=ω20−ω2
Em
cos2ϕ+ sin2ϕ= 1⇒Qm=(ω02−ω2L)2+ 42ω2
α

3.2Simplificationapport´eeparlanotationcomplexe

Soitq(tedexetntae´esmolpoicnrepr)laq(t).
L’´equationdiffe´rentielle´etantlin´eaire,siq(t) est solution alorsq(t) est aussi so-
lution (on remplace cosωtpar exp(jωtan)d’´slle)tielitnoqeaureneid´ff

−ω2Qmexpj(ωt) + 2αjω Qmexpj(ωt) +ω02Qmexpj(ωt) =ELmexp(jωt)

On simplifie par exp(jωt)

Em
Qm=ω02−ω2L+j2αω

´
MPSI-Electrocin´etiqueII-R´egimesinuso¨ıdalforce´

etonend´eduitdirectementl’amplitude

etled´ephasage

Qm=|Qm|=

Em
L
(ω02−ω2)2+ 4α2ω2

−2αω
ϕ= arg
(Qm) = arctanω20−ω2

Retenonsqued’unemani`ereg´en´eraleennotationcomplexe:
-d´eriverrevienta`multiplierparjωruendre(`atoπ ;2 dans le plan complexe)
´
-integrerrevient`adiviserparjωa`(erdneurto−π2 dans le plan complexe).

3.3

´
R´eponseenintensite´-Resonanced’intensite´

(t) =Ri+L di1CZidt
e
dt+
Enr´egimesinuso¨ıdalforce´(i(h)→0), on cherche une solution de la forme

i(t) =Imcos(ωt+ϕ)

ayantpourrepre´sentationcomplexe

avecIm=Imexp(jϕ)

i(t) =Imexp(ωt)

i(tst)elusoonti’leduqe´oitaffidn´erentielle
Emexp(jωt) =Ri+Lidtd+C1Z
1 1

Em=

R+Ljω+C jω Im

idt

Im=R+jLωEm−C1ω=ERm1 +jQ1

DamienDECOUT-Derni`eremodification:janvier2007

x−x1

ω
avecx=
ω0

L
etQ=Rω0

Im=|Im

RIm/Em
1

1

Q=5

E
|=Rm
1

1
+Q212
x−
x

Q=0,2

Q=0,5

page 4/7

On observe unoseredene`mone´phencnalutpanut’adfecauqleuqe´msrateur
´
dequlit´t´elev´e.
a e es

phi
pi/2

-pi/2

ϕ= arg(Im) =−arctanQ(x−x)1

1

x

´
MPSI-Electrocin´etiqueII-R´egimesinuso¨ıdalforc´e

Quelquesoitlefacteurdequalite´,ilyatoujoursr´esonanced’intensit´epour
ω=ω0sntie´se,e’lniet´esonanc;`alarertn´ralsahpeegatlee´eedaxtmalimseepon
(l’intensit´e)etl’excitation(tensione(t)) est nul.

3.4

Re´ponseencharge-
condensateur

R´esonancedetensionauxbornesdu

e(t) =CdRtud+dCLd2t2u+u
Enr´egimesinuso¨ıdalforce´(u(h)→0), on cherche une solution de la forme

u(t) =Umcos(ωt+ϕu)

ayantpourrepr´esentationcomplexe

avecUm=Umexp(jϕu)

u(t) =Umexp(ωt)

u(tndel’´eqtsolutio´ffreneitauitnoidellese)

Emexp(jωt) =tudCdR+LCdd2t2u+u
Em=RCjω−LCω2+ 1Um

Um=

ω1
avecx= etQ=RC
ω0ω0

EmEm
1−ωω22+jRCω=1−x2+jQx
0

Um=|Um|=

DamienDECOUT-Dernie`remodification:janvier2007

Em
(1−x2)2+xQ22

Um/Em

1

Q=5

Q=0,5
Q=0,2

1

x

page 5/7

On n’observe pas toujours unecnanose´reedenm`no´ephli’S.ance,yar´eson
celle-ciestd’autantplusmarque´equelefacteurdequalite´est´eleve´.

-pi/2

phi

-pi

ϕu= arg(Um) =−arctanQ(1x−x2)

1

x

´
MPSI-Electrocin´etiqueII-Re´gimesinusoı¨dalforce´

Silefacteurdequalit´eestsup´erieur`a12,ilyare´sonancedetensionauxbornes
du condensateur pour une pulsation d’autant plus proche deω0que le facteur
dequalit´eest´elev´e;`alare´sonance,latensionestmaximalemaisled´ephasage
entrelar´eponse(latensionauxbornesducondensateur)etl’excitation(tension
e(t)) n’est pas nul.

2
Ilyare´sonancesiUmadmet un maximum ou si (1−x2)2+Qx2admet un minimum
c’esta`diresi
2x

On trouveωr=

2(1−x2)(−2x) +Q2= 0
x2= 1−2Q12

1−2Q12iditnouq`canoeQ >21

Umvaut alors
QEm
Um(ωr) =
1
1−2
4Q
Qestaussiappele´facteurdesurtension.

4Impe´dance

4.1D´efinition

'QEm

Soitundipoˆlepassiflin´eairefonctionnantenre´gimesinuso¨ıdalforc´e.SiUmetIm
d´esignentlesamplitudescomplexesassocie´esa`u(t) eti(tleelp´im,o)ppnanadeec
complexedudipoˆlelagrandeurnote´eZfieinte´dnee´enriontveoncruetpecpar

u Um
Z= =
i Im

Onde´finitaussil’admittance complexe

1
Y=Z

DamienDECOUT-Derni`eremodification:janvier2007

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Zoceitntontceuticquacarsile´treoptrcemotdudemenleenipˆosemige´rdı¨osunial
fo ´
rce
UmU
=
|Z|=ImI
rapport des valeurs maximales (oscilloscope) ou rapport des valeurs efficaces (mul-
time`tre)enohm(Ω)
argZ=ϕu−ϕi
d´ephasagedelatensionparrapporta`l’intensit´
e

4.2DipˆolesR,LetC

Pourunere´sistanceR

u=Ri→Z=R

Pour une inductanceL
u=L di=Lω
dtLjωi→Z=j
La tension est en avance deπ2 sur l’intensite.
´

Pour un condensateurC

1
i=tudCd=Cjωu→Z=ω
jC

La tension est en retard deπ2surl’i.etnneis´t

4.3Ge´nerateurs
´

line´aireenre´gimesinusoı¨dalforce´si

u=e−Zi

eudexelpmare´ne´gurteesemcotlaf
Zsteedp´iml’naecnietnrdegue´n´erateur

´
MPSI-Electrocine´tiqueII-Re´gimesinuso¨ıdalforce´

5R´eseauxlin´eairesenre´gimesinuso¨ıdalforc´e

Unre´seaulin´eaireenr´egimesinusoıdalforc´eestunre´seauconstitu´ededipoˆles
¨
passifslin´eairesetdege´ne´rateursline´airesde´livrantdestensionsoudescourants
sinusoıdauxquenouschoisironstousdemeˆmepulsationω.
¨
Touslesre´sultatsvussurlesr´eseauxline´airessonttransposables`aconditionde
raisonnersurlesamplitudescomplexesetd’´elargirlanotionder´esistance`ala
notiond’imp´edance.

5.1

5.2

5.3

5.4

5.5

Loi des noeuds

Loi des mailles

Associationse´rie-Diviseurdetension

U2m=Z+2Z2Um
Z1

Associationparall`ele-Diviseurdecourant

I2m=Y1Y+1Y Im
2

Loi des noeuds en terme de potentiel

VN mPYkVk m
=
PYk

5.6G´ene´rateurse´quivalentsdeTh´eveninetNorton

6Puissanceenre´gimesinu¨dalforc´e
soı

6.1Puissanceinstantan´ee-Puissancemoyenne-Facteurdepuis-
sance

Soitu(t) =Umcos(ωt’dsenrobxuanoisnai´einelolpˆdiunqneuleoceruqetal)
orient´eenconventionre´cepteureti(t) =Imcos(ωt+ϕudocrunaetsntie´)inl’tle

DamienDECOUT-Derni`eremodification:janvier2007

traversant.

Lancsaispunttanseiee´naoledipˆ¸erelrapeuc

page 7/7

p(t) =u(t)i(t) =UmImcos(ωt) cos(ωt+ϕ) =Um2Im(cos(2ωt+ϕ) + cosϕ)

Lapuissance moyenne

P=Um2Imcosϕ=U Icosϕ

cosϕest lefacteur de puissance

Auxbornesd’unere´sistance

P=U I

Aux bornes d’une bobine ou d’un condensateur

6.2

Notation complexe

P= 0

Lapuissancemoyennepeuts’e´crire
P=Re1u i∗
2

en effetu i∗=Umexp(jωt)Imexp−(jωt+ϕ) =UmImexp−jϕ

PosonsZ=R+jXalors

P=Re12Z ImI∗m
=Re2|Im|2=|Im2|2Re{Z}=RI2
1Z

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