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Cours - ESSENTIEL d’optique – 2ème année de CPGE scientifique, voie PC*,

De
11 pages
Cet ESSENTIEL d’optique, basé sur le programme de physique de 2ème année de la voie PC* des CPGE, résume les parties de cours suivantes : Introduction à l’optique ondulatoire ; Interférences à deux ondes en lumière monochromatique ; Interféromètre de Michelson ; Interférences à deux ondes en lumière polychromatique ; Diffraction ; Interférences à N ondes cohérentes, réseaux.
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PC*Lyc´eeHoche

ESSENTIEL Optique

Introductiona`l’optiqueondulatoire

Mode`lescalaire,intensite´,e´clairement,cheminoptique

Pascale Piquemal 11/12

Lalumi`ereestunee´nguqittcelamoronde´eehcmadnsetaoipogaeetriqulectps´edeitprlail,ags’
magne´tique,grandeursvectorielles.Localement,lesondese´lectromagn´etiquesprogressivesontune
structure transversale et leur amplitude varie en1r(cf rayonnement dipolaire). Dans une petite zone
autourd’unpointMloindelasource,onpeutconsid´ererl’amplitudeconstanteetladirectiondu
champ´electriqueconstante;seulelaphasevariedefac¸onnotable.

Lalumie`renaturelle(soleil,lampesusuelles)estnonpolarise´e(c’esta`diretouteslesdirectionsdu
champe´lectriquesonte´quiprobablesdanslepland’ondelocal).Onpeuttraiteralorslalumi`erecomme
une onde scalaireeleulimstqtnas´ersoesuxieavtrrootisnts.pe

L’oeilestsensiblea`l’intervalledelongueursd’onde[400nm750nm]; c’estle domaine du visible.
Danscedomaine,lesfr´equencessontdel’ordredequelques1014s−1rede’orddtlessnooied´prees,l
quelques10−15sertjaunedenalsvevesieullacd’t´uiaxnmumimieo’osalL.560nm.

L’´elumineintensitsueducaellemporneterre´peranuse´mesiopprtiorrcousteemalaneyoenno`ell
du signal lumineux au point M.I(M) =Ks2(M t)=2Ks s∗.

Postulatdesr´ecepteurspeohaluq’le´otuo-claiOnpostuuqeli’leerpmoissupnantoiurMsepun
rementaupointMd’un´ecranoular´eponseaupointMd’unphotod´etecteurestproportionnelle`a
l’intensite´rec¸ueaupointM.Ler´ecepteuroeilhumainauntempsder´eponsedel’ordrede01s.

Pourunmilieuquelconque,onde´finitlechemin optiquesur un rayon lumineux curviligne quelconque
deAa`BparL= (AB) =RBAn(M)dsM.

L= (AB) =RABn(M)dsM=RttBAn(M)v(M)dt=RttBAc dt=c(tB−tA)prerntciontdeunpelrete´O.
cheminoptiquecommelecheminparcourudanslevidependantladur´eer´eellemisepourallerdeA
a B.
`

SoientOetMappartenantaumeˆmerayonou`adeuxrayonsparalle`lesdansunmilieud’indiceconstant,
led´ephasagevaut:
φMO=−→k∙ −O−M→avec−→k=2λπn−u→et−u→le vecteur unitaire du rayon lumineux

Th´eor`emedeMalusDans un milieu isotrope, les normales aux surfaces
lumineuxefletdersxione´rfderenoescaitoiesquelbromentluq.
´

D´ephasagessupple´mentaires

d’onde sont les rayons

Lorsd’uner´eflexionsurunm´etalditer´eflexionm´etallique,l’ondere´fl´echiesed´ephasedeπpar rapport
` l’ de incidente.
a on

Lorsd’unere´flexiond’unmilieud’indicen1vee´peul´sleeilimnurcidni’dusun2> n1refl´ech,l’ondeei
´
sede´phasedeπpprat`orlunparspendetel’oisqutandneetcndidnielao’ecavsehapneetseresimsnar
l’onde incidente.

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PC*Lyc´eeHoche

ESSENTIEL Optique

Pascale Piquemal 11/12

Interfe´rencesa`deuxondesenlumi`eremonochromatique

Deuxsourcescoh´erentessontdeux sources ponctuelles(lumineuses en optique)llenedse´rete
mˆemepulsationωnsetoe´S1etS2en relation dephase constante.

Ellese´mettentrespectivementdeuxsignauxs1(t) =ao1cosωtets2(t) =ao2cos(ωt−ϕo)avec le
de´phasageϕoonstcppelantadeceursoppraar2pahpe´de´ala`egasonacanstt`or.Sa1eleuiaecqisn
caract`ere´eterneldesdeuxsourcesassurelacohe´rencedesdeuxsourcesdemˆemepulsation.

LesdeuxsignauxsepropagentetatteignentlepointMo`uilsvalentrespectivements1(M t) =
ao1cosω(t−(S1M)c)ets2(M t) =ao2cos(ω(t−(S2M)c)−ϕo).

Ils s’additionnent et on obtient au point Ms(M t) =s1(M t) +s2(M t) =ao1cosω(t−(S1M)c) +
ao2cos(ω(t−(S2M)c)−ϕo).

Ond´efinitled´ephasageaupointMentrelesdeuxsignauxΦ21(M) =ϕo+ 2δπλ21(M)

Ond´efinitladiffe´rencedemarcheoptiqueδ21(M) = (S2M)−(S1M)
I(M) =Io1+Io2+ 2√Io1Io2cos Φ21(M)
I(M) = 2Io(1 + cos Φ21(M))siIo1=Io2

Cetteformuleappel´eeformule de Fresnelfait intervenirIo1claseulesienert´ntitnioevaMuc¸epuae
sourceS1etIo2neis´treitnpuaeuc¸eevaMtnioleeuasclceursoS2uetll,se´dpereemntdeendaMest
lede´phasageΦ21(M)entre la vibration lumineuse issue de la source2et celle issue de la source1
arrivant au point M.

Led´ephasageestprimordialquandons’int´eresseauxinterf´erencesentredeuxsignauxetdonclecalcul
deladiff´erencedemarcheoptique.

Lechamp d’interferencesseduniopltseeilex.augnsitreantˆeouvatsMpedxulrsetnapttie
´
Pourunemeˆmeintensite´,lelieudespointsMestunefamilledefrangesd’interf´erencesdemˆemephase
modulo2π.

SiΦ21(M) =m2πavec m entier, lesncesnie´eretfrsontconstructivesye´etnitisnntoiL’M.upa
estmaximalenot´eeImax. On parle defranges brillantes.

SiΦ21(M) = (2m+ 1)πavec m entier, lesseercnfre´intesontdestructivesopniua’inttM.Lt´eensi
yestminimalenote´eImin. On parle defranges sombres. SiImin= 0, on parle de franges noires.

Pard´efinition,lecontrasteouvisibilite´desfrangesest:C=IImaaxmx−+IInminim=|V|
Imax= (√Io1+√Io2)2etImin= (√Io1√−Io2)2.

Le contraste est maximal et vaut1quandImin= 0alorsIo1=Io2. Le contraste est nul siIo1Io2
ouIo1Io2.

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PC*Lyce´eHoche

ESSENTIEL Optique

Pascale Piquemal 11/12

Leproble`meposse´delasyme´triedere´volutionparrapport`al’axeS1S2tsohom`gmelieieu.Sileen
d’indicenrocapsertnatlec,nscoadesond`hyperbolo¨ıdes de foyersS1etS2neidire´nmlanpsuan.D
(donc contenant l’axeS1S2daseyhepbrloseedfoyers)el,coracspred`onS1etS2.

Formedesfrangesd’interf´erencesselonlapositiondel’´ecran

Si l’ran´ecestperpendiculairela`exa’S1S2iondeshyntersectdısevaceepbrlo¨oi’l,netuesancr´el’
famille de cercles concentriques d’axeS1S2; on parle defranges circulaires ou d’anneaux.

Si l’narce´esteel`llarap’aal`xeS1S2ma,l’intersectiondsiassneloctnneriecav´el’ancryhsebrep¨olosedı
estunefamilled’hyperboles.Maissiladistancedel’´ecranauxsourcesesttr`esgrandedevantladistance
S1S2alors ces franges sont pratiquement des segments de droite. On parle defranges rectilignes.

Onde´finitl’´freneresecor’intdreden un point parp(M) =Φ221(Mπ)cve.’Lni´treeˆtestderaisonnera
desnombresentiers(frangesbrillantes)oudemientiers(frangessombres).Pourpasserd’unefrangea`
uneautreconsecutivedemˆemenature,l’ordrevariede±1.
´

Calculdesdiff´erencesdemarcheoptiqueetdesd´ephasages

SiDx aaveca=S1S2ceursouxdeesrdeutaide´mnalpuaMedancedisttxlaesalors
δ21=naxD. Les franges sont rectilignes (x=nats,)etuqe´sidioncgneesd’tantrfraintei=λDna.

SoientS1etS2ni’la`seelle,infidrcouxseuceitnotnesxuede´dssinfisdneireddeonlaspu−S→1etu−S→2. On
choisit le point O tel queΦ21(O) = 0.
Φ21(M) = (k−→2−k−→1)∙ −O−M→aveck−→1=2πλnu−S→1etk−→2=2nπλu−S→2.

Coh´erencetemporelle.n´ecessit´ed’undispositifdiviseurd’onde

L’´emissionlumineusen’estpascontinue.Ellesefaitpare´missiondetrainsd’ondededur´eemoyenne
τue.xanllmuniigusedodri´eaptlnavedednarg

Deuxsourceslumineusesinde´pendantessontincoh´erentesentreellesetfr’nnitnape`erslles.E
etI(M) =Io1+Io2.
Pourobtenirunsyst`emedefrangesd’interfe´rences,ilfautfabriquerdeuxsources secondai`
resa
partirdelameˆmesourcediteprimaire. On parle dediviseurs d’onde. Les deux sources secon-
dairessontditescohe´rentesentreelles(mˆemepulsationetenrelationdephaseconstante:coh´erence
mutuelle).

Cohe´rencetemporellelfIqtuaeleuuedsartxinsd’ondesecondarisesiusdsmueˆemaitr’ondend
primaireserecouvrenttemporellementaupointMcequiimpose`aladiff´erencedemarcheoptique
δ21(M)< cτ=lc.lctspaeeeolep´l´hocnereeugnedruleelou.Pteceormpsepscertlrsealpmales,
lc'mm au cm. Pour les lasers de TP,lc'zadiesquelqu.steered`mnise
Dispositifs diviseurs d’onde. Source primaire et sources secondaires

Tout se passera comme s’il y avait deux sources secondairesS1etS2selleertno’leuq´eohcenesntre
pourralocaliser.Onpeutcalculerlede´phasage.Φ21(M) =2πλ((SM)2−(SM)1) =2λπ((SS2)−
(SS1)) +2πλ((S2M)−(S1M)).
Il faut distinguerdiviseurs du front d’onde(miroirs de Fresnel, trous d’Young..) et lesdiviseurs
d’amplituderedeMichelson).la(smmeceinni,sfretore´te`m
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PC*Lyce´eHoche

Interf´erom`etre

de

ESSENTIEL Optique

Michelson

Equivalence`auncoind’airoulamed’airquelconque

Pascale Piquemal 11/12

On fait laeiymstr´edu miroirM1e(dtetouslesrayonseneettricparaas´etrelM1)optrrrpaapla`a
se´paratriceruosaledeuqisniarteti´usenesrayonssceS(etdeStealceri).eps´atarCela ne change
pas les chemins optiques.

L’int´erˆetdecettefigureestdemontrerl’e´quivalencedel’interf´erom`etredeMichelsona`uncoind’air
oulamed’airquelconque.Cette´equivalencevanouseˆtretr`esutile,ellesimplifieralessche´masetla
compr´ehensiondudispositif.eee´ntiatutisisalmoemece´osruutseToeracpassS0, qu’il n’y
avaitpasdes´eparatriceetqu’uncoind’airpouvaitre´fle´chirlesrayonslumineux.S0est la source
primaire, par les miroirM01etM2, on obtient les images virtuelles deS0:S10etS20.Tout se passe
commesionavaitdeuxsourcescohe´rentesentreellesS01etS20.Savoir les placer sur le dessin
´equivalentdanslescascoind’airetlamed’air.

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PC*Lyc´eeHoche

ESSENTIEL Optique

Pascale Piquemal 11/12

Frangesd’interfe´rencesetlocalisationdesfrangesavecunesource´etendue,”coh´erencespatiale”

Pouruneconditionparticuli`ereauxdiviseurs d’amplitude,oeunpte´trdnesalecruoetnteuo
gardant un bon contraste sur une surface : la surface de localisation.

La surface de localisation est l’ensemble des points
correspondantsaumˆemeincidentprimitif.

d’intersection

des

deux´emergents

Pour unMichelson en coin d’airavec une´egarialce´saiecuqdineincneleeall`upartend
normale, les’isdernterf´ceensrfegnasurlecoind’air.snoltcolasie´seδ21(M) = 2e(M)'2αxet
lesfrangesditesd’e´gale´epaisseursontparall`eles`al’arˆeteducoind’airet´equidistantes.L’interfrange
λ
vauti=2.
α

Pour unonenhelsMiccase`rfa’diaalemsle`ellrapaavec unudocvnreegtnnete´egarialce´sur
le miroirM1, lessegnni’dfretere´esncfrasontlai’ee`sfinincalos´li.δ21(M) = 2ecosiet les franges
ditesd’e´galeinclinaisonsontdesanneauxconcentriquesnone´quidistants(plusresserre´ssurlesbords
qu’au centre). Lenombre maximald’anneaux brillants visiblesestE(2λe).

Appareilre´el.TPCours

N´ecessite´delacompensatrice. Lai`erpremete´edepae´rugalglecamoepsntaireconcstsiare`dren
quasiparall`ele`alas´eparatriceet`arendrelesdeuxmiroirsquasiparalle`les.Re´glagesditsg´eom´etriques.

Ladeuxi`emee´tapeessapedna`rdscunaega’riiodnesag,`alirafirandstsia`eronclresrfsesivailau
unelamed’air`afacesparalle`les.

Latroisi`eme´etapereethscirae`arusivsilaleernnsauxea`aetrselrdnepelersuldponsiose,blccho`nas
le contact optiquee= 0. On pourra effectuer ensuite des mesures.

Expe´rimentalement,onchariotedansunsensquelconque.Silenombred’anneauxaugmenteetsiles
anneauxsemblentse”produire”aucentretoutenserapprochantlesunsdesautresalorsons’e´loignedu
contact optique. En revanche, si le nombre d’anneaux diminue et si les anneaux semblent ”disparaˆıtre”
dans le centre tout en ’´ rtant les uns des autres alors on se rapproche du contact optique. C’est un
s eca
testinfaillible.Aucontactoptique,iln’yaplusd’anneauxcariln’yaplusd’interf´erences(S10=S20) :
on observera une teinte uniforme, couleur de la source.
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PC* Ly ´ H che
cee o

ESSENTIEL Optique

Pascale Piquemal 11/12

Interf´erences`adeuxondesenlumie`repolychromatique

Ond´efinitladensite´spectraleennombred’ondeouintensite´spectraleIsp(σ):dI=Isp(σ)dσpour
unebandee´l´ementairedelargeur´el´ementairedσ.

Onvaraisonnersurcettebandee´l´ementaire´emiseparlasourceprimaire,lediviseurd’ondevacre´er
deuxsourcessecondairescohe´rentesquivontpouvoirre´eretfrnin-opserroceriatnemel´et´e´ensi’intelt
danteaupointMd’interf´erencesseracalcul´eeaveclaformuledeFresnel.
dI(M) =dIo1+dIo2+ 2pdIo1dIo2cos Φ21(M)

Pourundiviseurd’ondesym´etrique,dI(M) = 2dIo(1+cos Φ21(M))cardIo1=dIo2=dIo=Isp(σ)dσ.
Chaquebande´ele´mentaireestincohe´renteaveclesautres, il faut sommer sur toutes les bandes
doncinte´grer.
I(M) =R0∞dI(M) =R0∞2Isp(σ)(1 + cos Φ21(M))dσ

Φ21(M) =φo+ 2πσδ21(M)et pour un milieu non dispersif,δ21(M)estind´peneadtnedσ.
Cas d’un doublet de raies infiniment fines

I(M) = 2Io(1 + 2 cosπσ1δ) + 2Io(1 + cos 2πσ2δ)

I(M) = 4Io 2 cos(1 +πσmoyenδcosπΔσδ)

cos 2πσmoyenδerf´’intces.erentedeedrmerelleˆouojAttention,ImaxetIminne sont plus constants,
ils d´ ndent deδdonc le contraste aussi,C(δ) =|cosπΔσδ|.
epe
´
Ils’annuleperiodiquementavecunepe´riode1Δσ. Quand le contraste s’annule, il y abrouillagep-e´
riodiquedesfrangesd’interfe´rencestandis queC= 1respcoraunrond`egnastdenfresfoenemrc
ainsipluscontrast´ees.

Cas d’une raie rectangulaire

I(M) = 2IspoΔσ(1 +sincπδΔσcos 2πδσo)

Le termecos 2πδσoeledreoˆuolejmreteetmrdei’tnre´freencestandisquele|sinc πΔσδ|elouˆoerlej
´
de terme de contraste , il s’annule pourδ=1Δσorcedteiusnetıˆ.te
Onpeutadmettreetretenirlecrite`resuivant:olephrycesunrcoue´’sdnettamoeuqiantopru
sur une bande de nombre d’ondeΔσfrdeontivaerbs’ore´fretni’´dtsseagrntal,
ences con ees
ne peut se faire que dans une zone d’extension enδ'Δ1σautour de la frange centrale,
c1
celacorrespond`alalongueurdecoh´erencedelasourcecar`c'cτ'Δν=Δ.
σ

Interferencesenlumi`ereblanche
´

Pour la frange centraleδ= 0toutes les longueurs d’onde vont donner une frange brillante. On,
observera donc du blanc qu’on appelleblanc brillantualbnadco’drerusp´erieur.oparpontisipo

On observe, quandδaugmente, desirisationsde part et d’autre de la frange centrale (une radiation
e´teintepourlaquellepλ= 12.Onobser)ueense`pevneustiapncl´peedeclaebele blanc d’ordre
supe´rieurtrecanneble,specsnelivisietnseadontiets´sruriaadlp(eisu.)e´l
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PC*Lyce´eHoche

Diffraction

ESSENTIEL Optique

Pascale Piquemal 11/12

La diffraction est perceptible pourdde l’ordre deλedeniatnecala`λe´-ruacartc,uenglonetuanetd´
ristiquedesvariationsspatialesdel’objet.Ilfautadaptercecrit`ere`alasituationexpe´rimentale.

Unepupille planeest un plan qui agit sur les ondes lumineuses. La pupille influe sur l’amplitude
mais aussi sur la phase, il convient donc de raisonner en amplitude complexe pour le signal lumineux.

Pard´efinitiondelatransparence complexed’une pupille :a(Psortie) =T(P)a(Pnerte´e)pour tout
point P du plan.

Deuxpupillessontditescompl´ementairessilasommedeleurstransparencesest1etsileurproduit
est nul pour tout point P du plan.

Principe d’Huygens Fresnel

Interessons-nousa`unpetit´el´ementdesurfacedSPiopuae´rtnecinumelndeoUnP.ntseeuciinntdee
´
e´clairecete´l´ementdesurfacequivaladiffracter.Onpeutsupposerquelalumie`rediffracte´e,aupoint
P,auneamplitude´ele´mentaireproportionnelle`al’amplitudedel’ondeincidentere¸cueaupointPet
proportionnelle`adSP.

En complexes,daP=K ai(P)dSP.

Principe d’Huygens-Fresnelmetuneutpo:toll´eupipu’ennidteounarep´eirlaecee´retnedicniedn
ondelettesphe´riquedemeˆmepulsationquel’ondeincidente,d’amplitudecomplexeproportionnelle`a
celledel’ondeincidentere¸cueaupointP.TouslespointsP´eclair´es´etantdessources secondaires
coh´erenteserer.ntrif´ere´tcarffidsedno’dest´ninfisile,vuiotnopstovopniecescundrchaespa

DiffractiondeFraunhofer:ondeincidenteplaneetdiffractiona`l’infini

Montage de Fraunhoferempreri`enellltinocsgrevetneal:se:udeuxleetillelentruecenospulil,pa
permetd’obtenirunesource`al’infini,lasecondelentillepermetderamenerleplandel’infinia`distance
finieetd’observersurun´ecrandansleplanfocalimagedelalentille.

L’onde incidente est plane de vecteur d’onde−k→i=2λnπ−u→ieo’lte´nderemntgesteedevelpnaruceet
d’onde−→kd=2λπn−→udavec−u→d.
da(M) =K T(P)ai(Peer´nte)dSPexp−i−→kd∙P−−M→

da(M) =K T(P)aoexpi(ωt−→−ki∙S−P→exp−i−→P−−M→dSP
kd∙

7

PC*Lyc´eeHoche

ESSENTIEL Optique


aeeca´tidrff(M) =KexpiωtRT(P) exp−i(k→i−−k→d)∙O−P→dSP
pupille
Iedffiartce´(M) =CRT(P) exp−i(−→ki−−→kd)∙O−→P
dSP(RT(P)
pupille pupille

Pascale Piquemal 11/12

O−→
expi(−→ki−→−kd)∙PdSP)∗

Lpearplleanvedceteluarp−uk→pil=le−→kesit−no−→´teOdxy, le vecteurO−→Psee´nnpoadoorc.our(x y0)´letetser´prepeiotneM
kdesdoor´enn,ocekxetky

∞ ∞
a´teerffcaid(kx ky) =KexpiωtZ ZT(x y) exp−i(kxx+kyy)dxdy
−∞ −∞
kx=−2λπnxMf−02x0S=−2λnπ(sinθx−sinix)
ky=−2πnλyMf−02y0S=−2πλn(sinθy−siniy)

Cetteformulationmetbienen´evidencelerˆolejoue´parl’imagege´ome´trique(kx= 0 ky= 0)de la
source.

Silatransparenceestr´eelle,lafiguredediffractionestcentr´eesurl’imagege´ome´triquedelasource.Si
´
latransparenceadmetuncentredesym´etriealorslafiguredediffractionadmettral’imageg´eometrique
delasourcecommecentredesym´etrie.

Silapupilleposs`edeunaxedesym´etriealorssafiguredediffractions’organiseline´ı¨quementperpen-
diculairementa`cetaxe.

Pupille rectangulaire et cas limite de la fente

Iee´tcarffid(kx ky)) =I(00)sinc(kx2a)2sinc(ky2b)2pour une pupille plane rectangulaire de surface ab.

L’ele´amixamnietsntiest obtenue en l’´eegagimiqtr´eomaloseuedruec, lesextensions angu-
laires de la tache centralede diffraction pour un rectangle de surfaceabsont2λet2λbselon les deux
a
directionsconcerne´es.Latache centraleestdeux fois plus grandeque lestaches secondaires.

Quandonobservea`l’infiniaveclentille,ilsuffitdemultiplierlesanglesparladistancefocalef20.
Quandonobservea`l’infinisanslentille,enfaita`tre`sgrandedistanceD,ilsuffitdemultiplierles
angles par D.

Siab, on obtient une fente dite infiniment fine de directionOy.

Iee´tcarffid(kx0) =I(00)sinc2(kx2a)

I´teerffcaid(kx ky) = 0siky6= 0

Nousobservonssurl’e´cranunefiguredediffractionquis’e´tendline´ı¨quementdansunedirectionper-
pendiculaire`aladirectiondelafente.Celanediffracteplusdansladirectiondelafentecarlapupille
est de longueur infinie selonOyda`tderinoleueugrc’esbλ.

Trou circulaire

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PC*Lyc´eeHoche

ESSENTIEL Optique

Pascale Piquemal 11/12

Lafiguredediffractionalasyme´trieder´evolutionautourdel’imageg´eome´triquedelasource.Le
e
rayon angulaire du premier anneau sombre est061λRavecRle rayon du trou donc le diam`tre de la
tache centrale lumineuse est122λR. On appelle la tache centrale latache d’AiryL.i’tnen´ericsˆ´ottdıe
tre`svite,lepremiermaximumsecondairenevautplusque175%amixtie´etsn’lni’ilitqu.Ondmalede
y aapodisation.

Lafigure de diffractionestinchang´eepartranslation de la pupille dans son plan.

Toutedilatationde lapupilledans une direction se traduit par unecontractionde lafigure de
diffractiontuiadrtesnoitceridenuctreneioˆeamdimedlsnailledansndelapuptnartcoittuoetoc
par une dilatation de la figure de diffraction dans la ˆ e direction.
mem

Pupille et figure de diffraction forment un bloc pour une rotation autour de l’axe optique. Quand la
sourceSi’amecl,oe`meg´guqeteireplased´S0rsunoitcarffee´rtnectlafiaceedediguree´lpsdeS0pour
unepupille`atransparencer´eellesed´eplaceenblocavecS0.

Lafiguredediffractiondedeuxpupillescompl´ementairesestlamˆemesaufenl’imagege´ome´triquede
la source.

Dispositif des deux fentes d’Young

N´ecessite´d’unefentesourceparalle`leauxdeuxfentespourobtenirdesfrangesd’interf´erencessur
l’e´cran.

−→−−
aF2(kx ky) = exp−i k∙O1−O→2a1(kx ky)
F

Φ21(M) =−k−→−−∙→
O1O2

I2 fentes(M) = 2I1 fente(M)(1 + cos Φ21(M))

Limitationdupouvoirs´eparateurdesinstrumentsd’optique

Crit`eredeRayleigh:l’´ecartangulairedesdeuximagesdoitˆetresupe´rieuraurayonangulaireimage
delatachedediffractionafindelesse´parersoitdansl’espaceobjetα >061Rλ.

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PC*Lyce´eHoche

ESSENTIEL Optique

Interf´erences`aNondescohe´rentesR´seaux
. e

Pascale Piquemal 11/12

Interfe´rencesa`Nondescoh´erentesdemˆemeamplitudeetded´ephasageconstant

a(M t) =aoexpNtωiX−1expinφ=aoexpiωt1−expiN φ
n=01−expiφ
=aoexpiωtexpexpiφiNφ22expxe−pi−iφφN22−−xeexppφiNφi22=aoexpiωtexpi(N−1)φ2innsisNφφ22

I(M) =IoN2sNisniNnφφ222=IoN2R2N(φ2) =Io(t’dnireeme´eretfresncNo`aesnd)2
Onde´finitlafonctionr´eseaupar:RN(x) =sNnisiNnxxavecx=φ2.

Retenonsrreuaacesuaipauxr´elesprincioct´enreledonaf´’ledutetlusdsta.
´

Quandx=nπavecnentier relatif,R2N(x) = 1, ce sont des maxima principaux.

Elle s’annule(N−1)fois sur l’ intervalle[0 π]pourx=nNπavecnentier,n∈[1 N−1]. Il y a
(N−2)maxima secondaires sur l’intervalle[0 π]xamemumic,uqahesreittscoseaindedxu´ueetner
annulations.

Retenir que la largeur en x d’un maximum principal est2Nπ.

QualitativementNond,lescoeserh´teenntsi`frenerepuattnioM.Sideuxondesnetn+ 1sont
en phase,φ(M) = 0modulo2πal,oNselsrotnossednaseeenphr´evtonpmnxaioutoprumimu
l’intensit´e.

SiN1etφ6= 0modulo2πestdasphquescoeleuqnselssenuNond,lesiintesqurerere`frunonoat
parrapportauxautresetl’intensit´ere´sultant´ligeable.
e sera neg

Onpre´voitdonc,sansaucuncalcul,qu’iln’yauradelalumie`requ’enlesmaximaprincipauxdonne´s
parl’´equationφ= 0modulo2πsiN1.

Dans la pratiqueN1seodcneslulsseamit´esn´egligeablmaxi,dtnoserisnetniseimaxsmledaonecas
principauxsontvisibles.Ilssontsitue´senφ(M) = 0modulo2π. La largeur d’un maximum principal
est4π
N.

Casparticulierdure´seaupartransmission

Unre´seauestunepupilleplaneopaqueperce´edeNfentesidentiquesparall`eles´equidistantes(enfait,
onagrav´eNtraitsfinssurunsupport,degrandelongueurparrapporta`leure´paisseur).LesNfentes
endiffractantlalumie`reincidentejouentlerˆoledeNsourcessecondairescoh´erentes.

Les fentes sont de largeurh, distantes deasturitelud´rseaeeu.LalargeuN aavec N le nombre de
traitse´clair´esparlasource.Onappelleaud´rpsau.eaes

haN a

λ λ λ
haN a
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