Devoir Libre N°06

Description

MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr `a rendre le vendredi 21 d´ecembre 2012 DEVOIR LIBRE N˚06 `PROBLEME 1 : D´enombrabilit´e de N×N (x+y)(x+y +1)21.a.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Mathématiques

Informations

• Publié par: devoir-mpsi
• Nombre de lectures: 16
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

1.a.

b.

MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e

a`rendrelevendredi21d´ecembre2012

DEVOIR LIBRE N˚06

`
PROBLEME 1:NeDarbmone´de´tilib×N

Justifiez que pour tout (x y)∈N2, on a (x+y)(x+2y+ 1)∈N.
Onconsid`erealorsl’applicationf:N×NdansNdrapeinfie´

∀(x y)∈N2

f(x y) =y(+x+y)(x+2y+ 1)

Quelquescalculsnume´riques:
Dansletableaudegauchefigurentquelques´ele´mentsdeN2. Portez dans le tableau de
droite les valeurs defcorrespondantes.
Cesre´sultatsnesontqu’uneindicationpourlasuite.

0
1
2
3
4

0 1
(00) (01)
(10) (11)
(20) (21)
(30) (31)
(40)

2
(02)
(12)
(22)

3 4
(03) (04)
(13)

0
1
2
3
4

0

1

2

3

2.a.nttaEs(´enndox y) et (x′ y′) dansN2tels quex+y≥x′+y′+ 1, montrez que

f(x y)> f(x′ y′)

b.e´Dsiude-zeeuqnf(x y) =f(x′ y′)⇒x+y≤x′+y′, puis que

f(x y) =f(x′ y′)⇒x+y=x′+y′

4

c.uqeiues-zneedD´fest injective.
3.a.(Etaodtne´nnx y)∈N2tel quex≥1, comparezf(x−1 y et+ 1)f(x y).
b.E´ennodtnaty∈N, comparezf(y+ 10) etf(0 y).
c.Montrez quefest surjective.
Onaainsi´etabliqu’ilexisteunebijectiondeN2surN, on dit queN2abbromend´steel.
Lasuiteduprobl`emeapourbutdede´terminerl’ante´c´edentd’unentierp
4.Montrez que pour tout couple (x y)∈N2,

5.

(x+y)(x+2y+ 1)≤f(x y)<(x+y2+(1)x+y+ 2)

Etantdonne´n∈N⋆, on noteS(n) la somme des entiers compris entre 1 etn.

1

Justifiezquel’e´quationd’inconnuex∈R,p=
positive,etuneseule,not´eeα. Montrez alors que

x(x+ 1)
2

donne

α−1< n≤α

10000.

On

y)

=

+y=
ouple

nety=p−S(n).
(x y) tes quef(x

c.Deduisez-en que sif(x y) =p, alor
´
d.nimrlzempleExereqiun´me´eteud:
√80001 = 28284`a10−2.se`rp

sx
e c

Fin du sujet

a.

2

b.

,

Montrez que pour tout entier non nulp∈N⋆, il existe un entiern∈N⋆, unique tel que

S(n)≤p < S(n+ 1)

une

admet

re´elle

solution