Devoir Libre N°11

Description

MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Mathématiques

Informations

• Publié par: devoir-mpsi
• Nombre de lectures: 28
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

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5.

MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e

DEVOIR LIBRE N˚11

`
PROBLEME 1:PmeˆoynolnobiFedsicca

Soit (Pn)n∈Nsaiuetedlesd´efinipolynˆomtalesnoirapersel:

P0= 0 P1= 1


a`rendrelemardi2avril2013

et∀n∈N Pn+2=XPn+1−Pn

Montrer que pour tout entiern∈N,Pn2+1= 1 +PnPn+2.
Ende´duirequepourtoutentiern∈N,PnetPn+1sont premiers entre eux.
Montrer que pour toutm∈Net pour toutn∈N⋆, on aPm+n=PnPm+1−Pn−1Pm.
Montrer que pour toutm∈Net pour toutn∈N⋆, on aP GCD(Pm+n Pn) =P GCD(Pn Pm).
End´eduirequeP GCD(Pm Pn) =P GCD(Pn Pro`),urest le reste de la division eucli-
dienne demparn.
Conclure queP GCD(Pn Pm) =Pn∧m.

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Fin du sujet