Devoir Libre N°12

Description

MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Mathématiques

Informations

• Publié par: devoir-mpsi
• Nombre de lectures: 27
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

1.
a.
b.
2.
3.

a.

b.

4.

c.

MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e

DEVOIR LIBRE N˚12

a`rendrevendredi19avril2013

EXERCICE 1:reebg`Alriae´nilsnadeM3(R)
On se place dans l’espace vectorielE=M3(Rsticneocffie3ea`amsecirtd)d’esdrorcaes´err
´eelsOnd
r . onne
1 0 0
A=013−202032 P=011011211 T=100202

Lebutdel’exerciceestd’´etudierl’ensembleC(A) des matrices qui commutent avecA:

C(A) ={M∈ M3(R)|A×M=M×A}

Calculsmatricielspre´liminaires
Montrez quePsteveinnez´dtereimsrbielteP−1.
CalculezP−1×A×P.
De´montrezqueC(A) est un sous-espace vectoriel deM3(R).
SoitM∈ M3(R), une matrice quelconque.
On poseM′=P−1×M×P. Montrez que

A×M=M×A⇐⇒

T×M′=M′×T

Prouver alors qu’une matriceM′deM3(Rv)ire´efiT×M′=M′×T
ilexistedesr´eelsa b ctels que
M′=00a0b0bc0

si et seulement si

Ende´duirequeMt`aappartienC(A)si et seulement sili´esrselisexdetea b ctels que
−a+ 2b2a−2b−a+b+ 2c
M=−a+b20a−b0−a+b+bc

De´terminezunebasedeC(A).

1

Fin du sujet