Devoir Libre N°13

Description

MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr FACULTATIF DEVOIR LIBRE N˚13 `PROBLEME 1 : Dans tout ce probl`eme, a d´esigne un r´eel. On se propose d’´etudier les suites r´eelles (u ) v´erifiant une relation de r´ecurrence dun n∈N type : Pour tout n de N, u = au +P(n)n+1 n ou` P est un polynˆome.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Mathématiques

Informations

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• Nombre de lectures: 23
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

1.

2.a.
b.

3.
4.

5.

6

a.

b.

c.
.

MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e

`
PROBLEME 1:

DEVOIR LIBRE N˚13

FACULTATIF

Danstoutceprobl`eme,a´edrnuengis.lee´
Onseproposed’e´tudierlessuitesr´eelles(un)n∈Nucnderuer´rce´vfiiretiladeontuanrene
type :
Pour toutndeN,un+1=aun+P(n)
ou`P.meˆoynolnptues
LeRedleiussrsetlee´-eacspecevritolesestnot´eRNe´´lmenedte.UnRNn-eit´noets
diffe´remment(un)n∈Nouu.
PartieI.Lecaso`uPest constant.
Dans cette partie, on poseE(a0)=u∈RN| ∃b∈R;∀n∈N un+1=aun+b.
Soitu∈E(a0). Il existe doncbtourpouelqteel´ertundeN:un+1=aun+b. Montrer
l’unicit´edeb. On noterab=bupouru∈Ea(0).
D´eterminerE1)0(.
D´eterminerE(0)0.Dans le reste de cette partie,asteppsu´eosff´dinereedt1.

Montrer queEa(0)est unR-espace vectoriel.
Soitxcetiusal`alega´eteanstontu(1opruotndeN,xn= 1) et soity,e´detinfielasui
pour toutndeN, par :yn=an.
Montrer que (x y) est une famille libre deE(a0)arelicesuesrvslapr´e.Ondebxetby.
Soitu∈E(a0).
Montrer qu’il existe (λ µ)∈R2unique tel quexλxλ10++yµyµ01==uu01.
Montrer que, pourλetµnprstioaques`alfiein´dutop,eotrue´cetnedndeN,
´

un=λxn+µyn

Que peut-on en conclure ?
D´eterminerE(0)HORSBnOodnnreRAEˆEM!!liculaernpaetiarednemidoisnEa(0)
a. .
PartieII.Lecasou`a6= 1

Dans cette partie, on suppose quea6= 1.
On fixe un entier naturelp. On noteRp[X] leR-espaevecrotcdleiopsenˆlyesomco`a-effi
cint´elsdedegr´einf´erieurou´egala`p.
e s re
Onpourraconfondrepolynˆomeetfonctionpolynomiale.
On poseE(ap)=u∈RN| ∃P∈Rp[X];∀n∈N un+1=aun+P(n).

1

1.

2.
3.

4.
5.
a.
b.
6.a.
b.

7.
8.

9.

1.

2.

Soitu∈E(ap). Il existe doncP∈Rp[X] tel que :

∀n∈N

un+1=aun+P(n)

Montrerl’unicite´dePte´aeidupno(rruoticaon’arllippϕdeRp[X] dansRp+1:´definiepar
ϕ(P) =P(0) P(1)     P(p)).
On noteraP=Pupouru∈Ea(p).
Montrer queEa(p)est unR-espace vectoriel.
Montrer que l’applicationθruseinfied´Ea(p)parθ(u) =Pueedilacitnoil´naeriestuneapp
Ea(p)dansRp[X].
De´terminerKerθ(noyau deθ).
k
Pourk∈N, on poseQk= (X+ 1)k−aX.
Quelestledegre´deQk?
Montrer que la famille (Q0 Q1     Qp) est une base deRp[X].
Montrer que pour toutkdans{01     p},Qkest dans l’image deθ´tee,onmIθ.
Que peut-on en conclure ?
HORSBAREˆME!!D´eduiredesquestionspre´c´edentesladimensiondeEa(p).
Pourk∈ {01     p}, on posex(k)tuop,eitruo´efinitedlasundeN, par :x(nk)=nk.
On rappelle queyetsalfinie,pousrutiotuted´endeN, par :yn=an.
Montrer que (x(0)     x(p) y) est une base deEa(p).
Application :ustirealmrnie´etde(un)n∈Nanifierv´:t
∀n∈N un+1= 2un−2n+ 7
u=−2

PartieIII.Lecaso`ua= 1

0

Dans cette partie, on suppose quea= 1.
Enadaptantlesre´sultatsobtenus`alapartiepre´ce´dente,d´eterminer:
E(1p)=u∈RN| ∃P∈Rp[X];∀n∈N un+1=un+P(n)

Application :e(itsulaere´etmrnidun)n∈N:tnafiire´v
∀n∈N u=u

n+1n−6n+ 1
u0=−2

2



Fin du sujet