Exercice N°104: Fonctions numériques, rappels

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⋆⋆⋆ ´ MPSI Lycee Rabelais Semaine du 12 aoutˆ 2011 Fonctions num´eriques : g´en´eralit´es Injectivit´e, surjectivit´e, bijectivit´e des applications Int´egrales et primitives Exercice 1 : Soit f : R→ R la fonction d´efinie pour tout nombre r´eel x par : Exercice 6 : Apr`es avoir v´erifi´e que les int´egrales suivantes ont un sens, calculez-les : Z Z Z 2 3 1 t+1 dt 2x 2 1. |t −3t+2|dt 5. dt. f(x) = . 3. 2 2 t lnt t +2t+4 1+x 0 0 e Z Z Z x π/4 π/2 1. En discutant suivant la valeur de y, r´esoudre dans R l’´equation : dt sint 1 5 4. dt. 2. dt. 6. sintcos tdt. 2 3 1+t (1) f(x) =y cos t 1 0 0 2. L’application f est-elle injective, surjective, bijective? Que vaut f(R)? Exercice 7 : A l’aide d’une int´egration par parties, d´eterminez les int´egrales ou primitives sui- 3. Montrez quef r´ealise une application -not´eef - de [−1,1] dans lui-mˆeme.f est-elle bijec- | | vantes : Z Z Z tive? x 1 1 2 2 1 1. t costdt 3. ln(1+t )dt 5. Arctantdt. 0 0 Z Z Z Exercice 2 : Soit f :]−1,1[→ R d´efinie pour tout nombre r´eel x par : 4 x x p ` ´ lnt t 2 2. te dt. 4. dt 6. ln t+ t +1 dt. 2x t 0 f(x) = 2 1−x Montrez que f est bijective et d´eterminez son application r´eciproque. ´ Etude des variations 1 3 x +x−2 Exercice 3 : Soit f : [−1/2,+∞[→ R la fonction d´efinie par f(x) = √ . 2 Exercice 8 : On note f(x) = x +x+1 x 1. Montrez que f r´ealise une bijection sur un intervalle J `a pr´eciser. 1. D´eterminez les ensembles de d´efinition, continuit´e et d´erivabilit´e de f. 2.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Mathématiques

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Extrait

MPSILyc´eeRabelias

Fonctions

num´eriques:ge´n´eralit´es

snjecI´t,eitivceitusjrbie,t´viitivctjeppasede´noitacil
Exercice 1 :Soitf:R→Rnctiond´lafouotrmontinfieuopeerbrel´expar :
f(x+1=)2xx2
1. En discutant suivant la valeur deyduose´r,nsdareR:tiounaeq’´l
(1)f(x) =y
2. L’applicationf Que vaut ?est-elle injective, surjective, bijectivef(R) ?
3. Montrez quefae´rtoe´non-eunealisecatipplif|- de [−1e.-iulmeˆm]1snadf|est-elle bijec-
tive ?

Exercice 2 :Soitf:]−11[→Rleer´rembontuotruopeinfie´dxpar :

f(x) = 1−2xx2
Montrez quef.ueoqpreteretd´zsonminecitapalpe´icoirntiveijecestb

Exercice 3 :Soitf: [−12+∞[→Rlafonctiond´efiinperaf(x) =√x21+x+ 1 .
1. Montrez quefe´rsilaenueejibetvrnunisnrutcoialleJiserr´ec`ap.
2.Explicitezl’applicationre´ciproquedef.

Exercice 4 ::elleneioctontienonxppseieriaxuaetrapsdreafeltiseaimpnt´eressOns’i
1.Onde´finitlafonctionsinus hyperboliquesh :R→Rpar
sh (x) =ex−2e−x
De´montrezquelafonctionshestunebijectiondeRuslri-plaponzsnemirete´dteemeˆm-iu
cationr´eciproque.
2.Ond´efinitlafonctioncosinus hyperboliquech :R→Rpar :
ex+e−x
chx 
( ) = 2
Pourquoi la fonction ch :R→Rn’est-elceitevM?elapisjnarestrestronquezitcia`no
R+induit une bijection deR+ll`ereavintnusuretd´eterisecr´apcilppanoszenimretaoin
´ciproque.
re

ee´vsCalculsded´eri
Exercice 5 :dsdeiaentioie´nficontn,det´e,inuire´dedtetilibavionsfde´ensioctDte´einrmleezomsd
suivantes.Calculezleursde´rivees.
´
1.x7→1+cos√xx5.x√7→x−2
2 + sinx
2.x→7exp`1−xsinx´6.x7→ln`p1 +x2´
3.x→7cos`ln(1 +√x)´7.x7→ln`x+p1 +x2´
4.x→7`1 +x4)1−2x8.x→7ln2`2x2+ 4ex´

1ocprneaiemesndafilruoprevrese´rAahnie

1

Semainedu12aoˆut2011

tivesIn´tgearelesptirim
Exercice 6 :eselqu´eraegt´inovase`rpfiire´vris,cansenez-llculiuavelssnouttnsees:A
1.Z20|t2−3t+ 2|dt3.Ze3tldntt5.Z10t2+t2+t+41dt.
π
2.Z0π4nociss3tttd. 4.Z1x1 +ttd2dt.16.Z2sintcos5t dt.
0

Exercice 7 :Aienue´tnia’l’dedarge´tniirpuoselssvetimi-uioipnrgtatreiraapeters,d´zlesmine
vantes :
1.Zxt2cost dt3.Z10ln(1 +t2)dt5.Z1Arctant dt.
1
0
2.Z40t etdt. 4.Zxlndttt6.Zxln`t+pt2+ 1´dt.

´
Etude des variations
Exercice 8 :On notef(x)x3+x−2
=
x
1.De´terminezlesensemblesded´efinition,continuit´eetd´rivabilite´def.
e
2. Etudiez les variations def.
3.Pr´ecisezleslimitesauxbornesdudomainedede´finitiondef.
4.Repre´sentezlacourberepr´esentativedeftrohonmre´.dansunrep`ereo

Exercice 9 :Soitf: [01]→Rarponieputurtoalcnofnoitfie´dx∈[01] parf(x) =x−2√x+ 1.
1. Etudiez les variations def.

2.De´montrezquepourtoutx∈[01],f◦f(x) =xauolrdu´eepirou-vndseopeuzevuQ.
courbeΓrepr´esentativedefda.´ermnoohtroere`pernusn
3. Representez Γf.
´

Exercice 10 :Soitf:R→Rnctiond´efinieparofalf(x + 1) =x|x|.
1.Etudiezlad´erivabilite´defen 0.
2. Dressez le tableau de variation def.
3. Montrez quefrealise une bijection deRsur un intervalleJiser.`apr´ec
´
4.Explicitezl’applicationre´ciproquedecettebijection.
5.Tracezlescourbesrepr´esentativesdefetf−1.lamrerp`reunnohorteoadsn

Exercice 11 :Soitf:R+⋆→Ruttotcoidne´nfieioprulafonx∈R+⋆parf(x) =x2+ lnx
1. Montrez quefinduit une bijection deR+⋆surR.

2. Soitg:R→Rl’auqoreder´onipeclippticaf. Montrez quegdenas´erivablestdRet que
pour toutx∈R
g′(x) =»g(1x) + 2g(x)–−1


Exercice 12 :n´atesteuasgviilnie´:lszseissetablE
1. pour toutx∈R+,x−21x2≤ln(1 +x)≤x.
2. pour toutx∈R, cosx≥1−21x2.
3. pour toutx∈R,|sinx| ≤ |x|.

´
edutmocse`lpsetE

Exercice 13 :´ionnonctzlafaprnfieidee´iruqEtieudf(x) =√x2+ 3x−4.
ume

Exercice 14 :nnum´eriafonctioeiapruqdee´nfilzeidutEf(x) = sin2x+ cosx.

Exercice 15 :fin´eedqurpaieoitcnofaire´munndutElzeif(x) =x+ ln(1 +ex).

Exercice 16 :

Etudiez la fonctionfarep´dinfie
f(x) =xrxx+−11

quationsiDcssuisno’de´
Exercice 17 :rapudruelavaltnaivsuz,tecuisDtream`eλ∈Rl’existence et le nombre de solutions
del’´equation
x3−λ2(x−1) = 0

2

Exercice 1 —
.
1. Soity∈R

(1)f(x) =y

⇐⇒
⇐⇒

2x
y=2
1 +x
yx2−2x+y= 0

Correction

Onende´duitladiscussionsuivante:
(a) siyalors (1) admet 0 comme unique solution= 0
(b) siy60=´eneatqu1),(tuesudeuiondmedexi`eS.norge´irimidcstΔesntna(1=4−y2).
D’ou`ladiscussionsuivante:
i. si|y|>1, (1) n’a pas de solution.
1
ii. si|y|= 1, (1) admet une seule solution,x= =y.
y
iii. si|y|<1, (1) admet deux solutions distinctes :
x1=−p
1 1−y2
y
x2= 1 +p1−y2
y

2. (a)fesn’s.ntde´ed’ant´ecr3n’apasceitevacptsausjr
(b)fejnisaptracevitcesn’idtsnestsnitceuxa12adc´ednt´e
(c)facev’n3rsapana’d’enpastijsbtiect´ec´edents.
Notonsf(R) l’ensemble
f(R) ={f(x) ;x∈R}
f(R) est l’ensmble des images parfdes ´l´ments deR’e.Cesr´bledeelssslitsuameu`e’sny
e e
quiontaumoinsunante´c´edentdansRD’.us,snoicd-sediscussiapr`eslaf(R) = [−11].
3. Comme l’ensemble de toutes les images parfest [−11],finduit une fonction de [−11]
danslui-meˆme.Notons-laf|: [−11]→[−11]. Montrons quef|est bijective.
(a) Soity∈ {−101}uqseueinoidnlotuans[lA.qe´’lsro(1ontiuaunetdm)a−11].
(b) Soitytel que 0<|y|<metdeuxsion(1)ad´reellselotuoisn1.e´’ltauqecnE,sac,
not´eesx1etx2. Il s’agit de prouver qu’une exactement de ces deux solutions appar-
tient`a[−11]. On observe alors quex1x2’dnuopylˆnmoedeitduroesinacsrp(1=
dedegr´e2),desortequex1etx2enl,u’uents´eqrcone.Paelrsne’ul’detrautnosevni
exactementappartient`a[−11].
Remarque :epnoedamdne´’nseptsar,maisceutprouveitagdeu’,qs’ilx1. En effet,
|1 +p1−y2|= 1 + +p1−y2≥1>|y|nscoar.Ptenqu´e|x2|>1.

Ainsi, pour touty∈[−1auqenoita)1(temdacexmeteunntolestuoidnna[s,l’´1]−11].
D’apr`eslacaract´erisationdesbijections(pointdevue´equation),celasignifiequef|:
[−11]→[−11] est bijective.N

Exercice 2 .—Pour prouver quefpodaetuqor’j,eonr´ecippplicatineijrtecvoiseaendtee´ettsmirb
lepointdevue´equations.
Re´solvons,endiscutantsuivantlavaleurdey’l,nioatqu´e

(2)

Soit doncy∈R.

=

´

y=f(x)

(??)⇐⇒yx2+ 2x−y=

0
=

des exercices

3

•

siy6aninimsc=tΔdege`imeedid´r,eomiaolyndeuxleduu’dte´entauqpnoi=0ls.Igi’a
4(1 +y2)>llE.0odtemdaeenice´rsedcnarxunctisteleelissd

x−1 +p1 +y2
1=
y
x2=p1 +y2
−1−
y

Pourconclure,ils’agitdeprouverquedecesdeuxracinesr´eelles,uneexactementappar-
tienta`l’intervalle]−11[. Pour ce faire, observons tout d’abord quex1x2=−1 (pdt des
2
racines ouit´edentm´etg´eoeiruqi’seibab). De plus,|x2|= 1 +p|y1|+y2>p|yy|= 1. Ainsi,
|x2|>1, ce qui garantit en outre que|x1|<1.

Finalement, pour touty∈R,l’´equanoit(??) admet exactement une solution dans ]−11[. D’apres
`
lacaract´erisationdesbijections,celasignifiequef:]−11[→Rest bijective.
famdte´rnopiceuqor,encdoeaunlippticaf−1:R→]−1seiuq,[1uttourpoiefin´etdy∈Rpar
f−1(ydtneeselt)c´ednt´equea’uniyparfV.´’lu´eecntdeudetr´epseluetuq,eline´re

Exercice 3 .—

pour touty∈R⋆ f−1(y) =p1 +yetf−1(0) = 0
−1 +2
y

1.Adoptonslepointdevuee´quations,etr´esolvons,endiscutantsuivantla
l’e´quation

(3)

Soientx≥ −t2e1y∈R.

y=f(x)