Trig´etronombrepyheieuqilo Exercice 11 :aerz´iesincLh4xsh2x. n Exercice 12 :Soientn∈N, (a x)∈R2. Calculez la sommeSn=Xsh (a+kx) k=0 Exercice 13 :Pourn∈Netx∈R⋆, calculez la sommeSn=Xn(hhcckk(xx).) k=0
Exercice 14 : 1. Montrez que pour toutx∈R⋆ (, thx)=2th(2x)−1th(x) . n 2.De´duisez-enpourtoutentiern∈N, la valeur de la sommeT=X2kth (2kx). k=0 n Exercice 15 :Pourn∈Netx∈R. SimplifiezPn(x) =k=Y1ch“2xk”en calculantPn(x)×sh (“2xn”.
Exercice 16 : 1. Soientn∈Netx∈R+⋆. Observez que th ((n+ 1)x)−th (nx) = ( chnxch()hsx(n+ 1)x) n 2. CalculezSn=k=X0ch (kx)1((chk+ 1)x)
Correction des exercices Exercice 1 .—1.xli→m1xx21−1=√elorsent,´equconsraPuqe−21< m <trtsestΔaninimcrfitage´ntnemetciedcetsei1etlt, taapn’deasciras.ne´auqenoit xnx Lorsque= 1.m≤ −21o,um≥1,Δestpositifouniseontdmeadacxreucd´’ltelunnoitauqe 32..xxilil→→mm00„„nlin1s1««x= 1. ou confondues : distinctes xX1= 2m− √2p2m2−m−1X2= 2m+√2p2m2−m−1 4.xl→im+∞“1 +ax”x=ea,a∈R+⋆ . En notantS= 4mla somme des racines etP= 2(m+ 1) leur produit on obtient le tableau 5.xli→m1(lnx)x−1 : suivant= 1 1 6.x→li+m∞xx= 1.m−∞ −1−121 +∞ Δ + + 0−0 + 7.xli→m0+x√x= 1S− −+ 1P− +0 + 8.xl→im0+xx= 0.X1<0< X2X1< X2<0pas de racine0< X1< X2 9. limx(xx)= 0. x→0+laniFa`,tnemededeail’eabltace,unoeptu´rseuordel’´equation(4). 10. lim+(xx)x= 1. x→0(a) sim <−1, il y a une seule racinex= ln`2m+√2√2m2−m−1´, Exercice 2 .—(b) si−1≤m <1, il n’y a aucune racine ; 1.1)⇐⇒ex+e1−x=e+ 1⇐⇒e2+e= (e+ 1)ex(c) sim= 1, il y a une seule racinex= ln(2), (x (d) sim >1, il y a deux racines ⇐⇒e2−(e+ 1)ex+e= 0⇐X=ex > X0 x ⇐⇒X=ex > X0⇒X2−(=e+)11X+e= 0x= ln`2m− √2p2m2−m−1´ X= 1 ouX=e⇐⇒x= 0 ouxetx= ln`2m+√2p2m2−m−1´ Parconse´quent,S={01}. N
2. On suppose queaitulosedsapa’nem`estsyleoiqunssaetonons,ictementpositif,sestrt note,pouralle´gerα= lna. On a : xexy×=e1y=a⇐⇒xx+y=α y= 1
Onreconnaiticiunsyste`mesomme-produit.Lescouplessolutionssontceuxdontlescoor-donne´esxetysrleinacntsooi:nuqta’le´seedt2−αt+ 1. On note Δ =α2−4 le discriminant decettee´quation,cequinousconduitnaturellement`aenvisagerplusieurscassuivantle signe de ce dernier : (a) si Δ<’annioatolessdpael,noitueme`tsyse´uq,0’lpnon.sulporpe´so Δ = il r l’´ il i = =α.
u ion αx α2−te4◮si 0< a <1, (1) n’admet pas de solutions. (c) si Δα>+√0,α2il−dayrxuenicaidseLe.4qta=ctesstinl’´epour− √2◮sia≥1, (1) admet pour solutions x=α+ ln(a+√a2−1) =α+ Argch (a) yN= 2 couples ( sx y) et (y x.rpposoe´rolaloss)tnosstsyme`eioutdunsy=α−ln(a+√a2−1) =α−Argch (a) 3.Raisonnonspar´equivalencesOU xn(a+√a2−1) =α−Argch (a) lnxx2−−lny2y21=n2=l⇐⇒<>8>xx2y−xy>221=0=2⇐⇒8<:xx2y−y>02= 12y==αα+−n(lla+√a2−1) =α+ Argch (a) :y x= 2yN 82. (2)⇐⇒3 lnxx=2lnc(=ch(2yh)y)⇐⇒xx3=hc(h=c22(yy))⇐⇒ x+2yx3==1y⇐⇒⇐⇒<:(lnx2)x>yy02x=+=y24y=⇐1⇒yx=24=<:8xx3=c+1=2(hcy2(h)2y)⇐⇒2x3−x−xh(20==c1y). 4. On ax−(ln 3)yre`iqe´eitauyanotpanruouquniacerniree´lee´lenr.O=0ysectuoseme`tsednrteetCx= 1, il s’ensuit que (2) admet ss : on obti nt ln 3 ln 2 pour unique solution le couple (10). lin´eaireparlam´ethodedupivotdeGauex= ln 6y 6 .= lnNN Exercice 4 .—ruesncreurecr´areprtnomnOn∈Nquefestnbledanssd´erivafioRet que pourExercice 9 .—1. Pour simplifier l’expression def(x) = Argsh`2x√x2+ 1´, il y a essentielle-´ toutx∈R, on a :f(nment trois methodes : )(x) =exch (a)ch`na+xsh (a)´(a) Posonst= Argshx, de sorte quex= sht. Alors 2x√x2+ 1 = 2shtpsh2t+ 1 = •Initialisation :Lorsquenhas`2neiray!!eriafn’il0,=tcht= sh 2t,Argsh(2D.o’u`x√x2+ 1 = 2Argshx.N •fH(´enr)´e(dxi)t´e=:esxociht(an)∈chN`ntaleq+xhsuef(a)se´.tEn,secacnofd´isierfv(anb)selrietndsd´aeRpmocoqteopeuotrutuommeblecvaxee´s∈dRteellesano,oasbts`eqreureevemtrth´eecodsionU)b(uaenfd´erestlesuivabrRet que fonctions etpour toutx∈R, on a f(n+1)(x) =exch (a)ˆch (a)ch`na+xsh (a)´+ sh (a)sh`na+xsh (a)´˜f′(x) =√x22+1 =exch (a)ch`a+na+xsh (a)´=exch (a)ch`(n+ 1)a+xsh (a)´Ainsi,f deux primitives sur sontet 2ArgshRde la fonctionx7→ •Conclusion :rrapuce´nerro,ecnamontr´equefabivdalensestni´dfieinemtn´dreRet que√P.ra1neconstaerentd’utn:et,ensdcenscoqu´esnoi`ffidfxuetcno pour toutx∈R, on a :x2+ 1 f(n)(x) =exch (a)ch`na+xsh (a)´f(x () = 2Argshx) +C N Ene´valuantcette´egalite´fonctionnelleen0,ilvientC= 0. — Exercice 5 .ta´eurPoisecrilbtilage´nntre´esetionfonceptu,snolri’vaioidutalreee´de´’dUned(c)re’lxerpseisnoolgarthmiquedeinreere`te´medohnscoteisut`aisil diff´erence!! 1.x7→ϕ(x) = sh (x)−xetsledansd´erivabR+ee´vire´ded,ϕ′= ch−1. C’est une fonctionArgsh , . . .left as an exercise for the reader !N positive,etparcons´equent,ϕest croissante dansR+. En particulier,∀x∈R+,ϕ(x)≥ϕ(0),Exercice 14 .—Soitx∈R⋆ cequirevientpre´cis´ement`adirequesh(x)≥x1. 2.Meˆmeme´thodequepre´ce´demmentene´tudiantlafonctionx7→ψ(x) = ch (x)−1−21x2.Nth (x () + thxch()=sh(xx))+c(hhs(xx=)hs)s2h(x()x)(chh+cx2)(x) Exercice 6 .—euejqueeed’esdr´nt.N1onotaourqtifpcposie2treioˆtdm-cotioseme`tsyseleux)= patible.Commen¸consparajouteretsoustrairemembrea`membrelesdeuxe´quationspour=2shh((2x) 2 th (x) se ramener a un sys em ` t` e enex,ey: Ainsi, pour toutx∈R⋆, on a bien : th (x2=)2(htx)−1 (1)⇐⇒hschxx+hs+chyy=2=2aahschαα⇐⇒e−xex++e−eyy2==2eaaeα−αSoitn∈N, etk∈ {01 n}(thtnedppaeuqil´egalit´epr´ec´e,’lx)ee´ka.`xk= 2kxentraˆıne que Effectuons alors le changement d’inconnuesX=ex Y=ey, il vient−2 8XX=+eYx=>20eaαY8X=e2kth (xk(ht)=2kxk1++1 () thxk) =ey>0 (1)⇐⇒>:><1Y1 = 2ae−α⇐⇒<:XX×+YYx==e>022aαeαY=ey>embmerecSommonsmembre0`aXn´sge2ks.´e(2lattihkxht=)22(t´Uncoeselnnp++a11gxode)−denn(ht1xnt:emetcer)i X+ Ainsi,XetY’ledsnoioitauqe´t-onsutolssilnt2−2aeαt+e2αde discriminant Δ =k=0N 4e2α(a2−1). Ainsi