Exercice N°122: Dérivation

Description

′′′ℓ′′′′ℓ⋆ℓ′′⋆′⋆′′ ´ MPSI Lycee Rabelais Semaine du 12 aoutˆ 2011 D´erivation (II) Th´eor`eme de Rolle 2. Onsupposeque∀x∈ [a,b],|f (x)| 1, on a √ a+b ln ≥ lna lnb 2 Exercice 13 : 1. Montrez que x →−lnx est convexe. 2. Al’aidedel’in´egalit´edeJensenmontrezquesix ,x ,...,x sontdesnombres 1 2 n r´eels strictement positifs, alors n X √ 1 n x x ···x ≤ x . 1 2 n k n k=1 Exercice 14 : D´emontrez que h i π 2 1. ∀x∈ 0, , x≤ sinx≤ x 2 π π π 2. ∀x∈]− , [, |tanx|≥|x|. 2 2 x 3. ∀x∈]−1,+∞[, ≤ ln(1+x)≤ x. 1+x 2 x + x 4. ∀x∈R , e ≥ 1+x+ 2 n+1 5. ∀x∈ [0,+∞[,x −(n+1)x+n≥ 0 Miscellaneous Exercice 15 : 1. Trouvez toutes les fonctions f : R→ R, d´erivables en 0 et telles que ∀x∈R, f(2x) = 2f(x) 2. Trouvez toutes les fonctions f : R→ R, d´erivables en 0 et telles que 2 ∀x∈R, f(2x) = f(x) 2 ′′′′⋆′′′′′′′′′ Correction des exercices Exercice 1 .— 1. On montre par r´ecurrence que pour tout entier n∈N Nb : ici on utilisera que Argth r´ealise une bijection strictement croissante + de [0,1[ sur R . n i`eme P toute fonction de classe C qui s’annule n+1 fois a sa d´eriv´ee n qui s’annule. n Init. lorsque n = 0, le r´esultat est trivial, lorsque n = 1, on reconnaˆıt le La fonction h est d´erivable sur ]0,1[ comme compos´ee de telles fonctions et pur th´eor`eme de Rolle. pour tout x∈]0,1[, on a n+1 H´er´ed. soit n ∈ N tel que P . Soit f une fonction de classe C .

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Mathématiques

Informations

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• Nombre de lectures: 45
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  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

MPSILyc´eeRabelias

D´erivation

olleedeRToe´hme`r
Exercice 1 :Soitn∈Netf:I→Rune fonction de classeCns’annulant enn+ 1
points distincts deI.
1.Montrezquelade´riv´eenime`edefs’annule au moins une fois surI.
2. Soitα∈RnreudaleuqzertnoM.leeev´ri´en−1 def′+αfs’annule au moins
´
une fois surI.

Exercice2:G´en´eralisationsduthe´or`emedeRolle
1. Soitf: [0+∞[→Rofenuqeeuetllond´nctiableeriv

xl→i+m∞f(x) =f(0)

Montrez qu’il existec∈]0+∞[ tel quef′(c) = 0.
2. Soitf:R→Requleeletlbavire´dnoitcnounef

limf(x lim) =f(x) = +∞
x→+∞x→−∞

Montrez qu’il existec∈Rtel quef′(c) = 0.

Exercice 3 :Soitn∈N⋆, (a b)∈R2, aveca < betf: [a b]→Rune fonctionn
foisde´rivable.Onsupposeque

f(a) =f′(a) =  =f(n−1)(a) = 0 etf(b) = 0

Montrez qu’il existec∈]a b[ tel quef(n)(c) = 0.

reoh´Tccorsiesmeseedassmentsfini
`

Exercice 4 : Constante d’Euler
1.D´emontrezque∀k∈N⋆,k+11≤lnkk+ 1≤k1
2. Soitn∈N⋆. On noteSn=nX1k−lnn.reim´DteedzunencnereadntmeSn.
k=1
3. Montrez que la suite (Sn) est convergente. Sa limiteγteanstoncee´leppatse
d’Euler.

Exercice 5 :Soitf: [a b]→Rune fonction de classeC1.
1. Montrez quefest lipschitzienne.

1

(II)

Semainedu12aoˆut2011

2. On suppose que∀x∈[a b],|f′(x)|<1. Montrez quefest strictement contrac-
tante.

Exercice6:Th´eor`emesdesaccroissementsfinisg´en´eralise´
Soientfetgdeux fonctions continues sur [a bsnad]]etd´erivablesa b[.
1. Montrez que
∃c∈]a b[ f′(c)g(b)−g(a)=g′(c)f(b)−f(a)

2. Montrez que

si∀x∈]a b[|f′(x)| ≤g′(x), alors|f(b)−f(a)| ≤g(b)−g(a)

Exercice7:R`egledeL’Hopital
Soitfetgdeux fonctions continues sur [a b]]ssdanableerivetd´a b[.
1. Soitx0∈]a b[ tel quef(x0) =g(x0) = 0. On suppose queg′ne s’annule pas
dans ]a b[{x0}. Montrez que
Rlimf′(x)
∀ℓ∈x→x0g′(x) =ℓ⇒xli→mx0gf((xx)=)ℓ
Indication :enemssoicracesedsinfistzutiurreuspovo`rme´hoelrteiles
ge´ne´rali´
ses.
2.Appliquezcettere`glepourd´eterminerleslimitessuivantes

etixevCon
´

lix−sinx
x→m0x3

lim ln(1 +x)−x
x→0x2

Exercice 8 :Soientf g:R→Rdeux fonctions. On suppose quefest convexe et
quegest convexe et croissante. Montrez queg◦fest convexe.

Exercice 9 :Soitf:R→Rune fonction convexe.
.
1. on suppose quefest strictement croissante. Etudiezxl→i+m∞f(x)
2. On suppose queftron.Meeequez´nrobtsefest constante.

Exercice 10 :Soitf:R→Rune fonction convexe.
1. On suppose que l→im+∞f(x) = 0. Montrez quefest positive.
x
2. On suppose quefrpe´estnueenymasotptn+ee∞. Etudiez la position de Γf
parrapport`acettedroite.

age´nIeslit´
1
Exercice 11 :Soientpetq+=1elsque1uenxdlseeristbromr´estisotsfimetcptne
p q
et (a b)∈R+⋆×R+⋆. Montrez que

b≤1ap1bq
a+
p q

Exercice 12 :Soitf:]1+∞[→Rrlfaiondonctiepa´efinf(x) =−ln lnx.
1. Montrez quefest convexe.
2.Ende´duirequepourtout(a b)∈R, aveca b >1, on a
lna+2b≥√lnalnb

Exercice 13 :
1. Montrez quex7→ −lnxest convexe.
2.Al’aidedel’in´egalite´deJensenmontrezquesix1 x2     xnsont des nombres
r´eelsstrictementpositifs,alors

1n
√x1x2  xn≤nXxk
n
k=1

Exercice 14 :ezeuqnort´Dme
2x≤sin
1.∀x∈h02πiπ x≤x
2.∀x∈]−2π2π[|tanx| ≥ |x|
3.∀x∈]−1+∞[1 +xx≤ln(1 +x)≤x
4.∀x∈R+ ex≥1 +x+x22
5.∀x∈[0+∞[ xn+1−(n+ 1)x+n≥0

Minelaelscuos

Exercice 15 :
1. Trouvez toutes les fonctionsf:R→Rellesquenesette0ire´lbav,d

∀x∈R f(2x) = 2f(x)

2. Trouvez toutes les fonctionsf:R→Reulesqttelen0eblesavire´d,
∀x∈R f(2x) =f(x)2

2

Exercice 16 :Soitfunefiondonctlbavire´snadeI= [0+∞[.
1. (a) Soitℓ∈R. Montrez que si lim+∞f′(x) =ℓ, alorsxl→im+∞f(xx=)ℓ.
x→
(b) Soitgansniedd´efitionlancfoIparg(x) =x+ sinx.
Etudiezxli+mg′(x) etxl→i+m∞g(xx Conclusion) . ?
→ ∞
2. Montrez que si l→im+∞f′(x) = +∞, alors Γfarapehcneuqilobnuetarbe´rpnese
x
de direction (Oy).

Correction des exercices

Exercice 1 .—apertnomrruce´rrOn1.rtneiquepenceouteourtn∈N Nb :ciAeuqaresilitunoiebunseliear´thrgtcmetsiritnojiceesantroisentc
.
Pntoute fonction de classeCnulnf1+oisasad´eriv´een`imeeqiu’sn0aunel.de[1[ surR+
n equi s’an

Init.lorsquenvirt,laisroleuq0,ler´esultatest=n= 1, on reconnaˆıt le
purthe´ore`medeRolle.
n+1
Hed.´er´soitn∈Ntel quePn. Soitfune fonction de classeC. On
suppose quefs’annule enn+ 2 points distincts de l’intervalleI:

a1< a2<  < an+2

Soitk∈[1 n+ 1]], on applique alors leleldoemRe`reoe´hTentreak
etak+1:fest continue sur [ak ak+1,]´dreivable`al’int´ermoc,rueiem
f(ak) =f(ak+1tllee´ustsnee’ixunr´ced’eel)(nrle)i=0bk∈]ak ak+1[ tel
quef′(bk) = 0.
Cecie´tantvraipourtoutk∈[1 nueeqltelrne´us+[1i,f′s’annule
n fois dans l’intervalle+ 1I. Commefest de classeCn+1,f′∈ Cnet
`
l’hypothe`de´urrencepermetd’ende´duirequelad´eriv´eeniemede
se rec
f′e,cequirevientprsa’nnluueeqd´laivere´eice´me´s`tneridan+ 1emei`
defsannule dansI.
eucaprro.eiarvpeuqe´rtnmoenbina,oceenrrtierurtoutenn∈N,Pn
´
est
2. Soitα∈Retn∈N⋆,f:I→Rde classeCnqui s’annule enn+ 1 points
distincts deI.
Ond´efinitpourx∈I,h(x) =f(x)eαx.hest de classeCnet s’annule aussi
enn points distincts de+ 1Iuxderenteeolrˆed.nEpalpiquantletheor`em
valeursd’annulationconse´cutivesdehequluet´rseline,h′s’annule au moins
n−1 fois dansI. Or pour toutx∈I,
h′(x) =f′(x) +αf(x)eαx

Comme pour toutx∈I eαx>nonafiocteridleuqeivea`tn0,cecir
x7→f′(x) +αf(x) s’annule au moinsn−1 fois.N
Exercice 2 .—’erlceenmmcoenbiruoP.1´hmeeartpaepelxo,faitesunpetit
sc z-
vousdelad´emonstrationduthe´or`emedeRolle.Ellereposesurl’existence
d’unextremum(global)a`l’int´erieurdel’intervalledede´finitiondelafonction.
Danscet´enonc´e,lafonctionn’estplusde´finiesurunsegmentmaissurunin-
tervalleferme´nonmajore´,maisposse`deunelimitea`l’infini.Cettehypothe`se
permetd’ende´duirel’existenced’unextremumglobal(voyezvotresche´ma)
etdeconclurecommedanslapreuverigolote.Donconpeutde´montrercet
exoenimitantlapreuveduth´eor`emedeRolle.
Maisonpeutaussi,cre´erlesconditionspourappliquerRolle,c’est-`a-direen
seramenantaucasd’unefonctionde´finieetcontinuesurunsegment.Pour
cela,consid´eronslafonction3

La fonctionhelus]r0erd´abivsteontincfotse[1ocmmcedetellesompos´ee
pour toutx∈]01[, on a

h′(x) =f′(A1rgtxh2(x))
−

Deplus,parchangmentdevariable,onmontreaise´mentque

limh(x) =f(0)
x→1

Ainsihse prolonge continument en 1, en posanth(1) =f(0). On note encore
h: [01]→RinnaioctonolprsianO.ee´g:srolalfano
h: [01]→Rest continue dans [0i’lse´tnlbavnadeedmmeeuriCor.e´ir1d]
plush(0) =f(Argth (0)) =f(0) eth(1) =f(0), leedeme`roe´hTellRopermet
d’ende´duirel’existenced’unre´elα∈]01[ tel queh′(α) = 0. ie :

0 =f′1(rAtgh2(α))
−α