Exercice N°128: Applications linéaires

Description

′′′⋆ ´ MPSI Lycee Rabelais Semaine du 12 aoutˆ 2011 Espaces vectoriels (II) 0 Images et noyaux d’applications lin´eaires Exercice 7 : Soit E =C (R,R) et ϕ l’application d´efinie sur E qui `a toute fonction f ∈ E associe la fonction g : R→ R, d´efinie par 3 2 Exercice 1 : Soit f : R → R d´efinie par Z x 3 ∀(x,y,z)∈ R , f(x,y,z) = (2x−y,y+z) ∀x∈ R,g(x) = tf(t)dt 0 1. Montrez que f est une application lin´eaire. 1. Montrez que ϕ est un endomorphisme de E. 2. D´eterminez le noyau et l’image de f. f est-elle injective? surjective? 2. Est-il injectif, surjectif? Exercice 2 : Formes lin´eaires 3 2 1. D´emontrez qu’il existe une application lin´eaire f : R → R , unique telle que Exercice 8 : Trace d’une matrice f(1,0,0) = (0,1), f(1,1,0) = (1,0), f(1,1,1) = (1,1) Etant donn´ee une matrice carr´ee A∈M (K), on d´efinit la trace de A comme la n somme des ´el´ements diagonaux de A : 3 2. Explicitez pour tout triplet (x,y,z)∈ R , f(x,y,z). n X 3. D´eterminez l’image et le noyau de f. f est-elle injective? surjective? Tr(A) = a i,i i=1 5 Exercice 3 : Soit E = R et B sa base canonique. On consid`ere l’endomorphisme f de E canoniquement associ´e `a la matrice A ci-dessous. 1. Montrezquel’applicationTr :M (K)→ Kestuneformelin´eairesurM (K). n n   1 1 1 1 1 1. D´eterminez des bases de Imf et Kerf. 2. D´emontrez que pour toutes matrices carr´ees A et B d’ordre n, on a : 1 0 0 0 1   Tr(A×B) = Tr(B×A). 2. Montrez que : E = Imf⊕Kerf. 1 0 0 0 1 A =   1 0 0 0 1 3.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Mathématiques

Informations

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Extrait

MPSILyc´eeRabelias

tnoygese’appauxditnoilace´ialsnisreamI
Exercice 1 :Soitf:R3→R2rpaeinfie´d

∀(x y z)∈R3 f(x y z) = (2x−y y+z)

Espaces

1. Montrez quef.iaernie´seaticnlionetuplap
2.De´terminezlenoyauetl’imagedef.f surjective ?est-elle injective ?

vectoriels

Exercice 2 :
1.De´montrezqu’ilexisteuneapplicationline´airef:R3→R2, unique telle que

f(100) = (01) f(110) = (10) f(111) = (11)

2. Explicitez pour tout triplet (x y z)∈R3,f(x y z).
3.D´eterminezl’imageetlenoyaudef.f surjective ? ?est-elle injective

Exercice 3 :SoitE=R5etBomnd’eelmeisphorsabanonasecO.cnqieu`drenois
fdeEonacnemeuqintassoci´e`alamatirecAc-iedssuo.s
1.D´eterminezdesbasesdeImfetKerf0100111111
23..f:ezeuqnortMest-E=Imf⊕Kerf..A=111110011001010
il un projecteur ?

Exercice 4 :Soitn∈N⋆`dislereO.nocnontipp’acalif:Cn[X]→Cn[Xtuto`aui]q
polynˆomeP∈Cn[Xoˆemsoci]asolynelepf(P) tel quef(P)(X) =X P′−P
1. Montrez quefltsee´niaire.
2.D´eterminezKerfetImf.

Exercice 5 :SoitE=R2[X] etf:E→Eouati`quemnyoˆptloP∈Eassocie le
polynoˆmef(P) tel quef(P)(X) =P(X+ 1) +P(X−1)−2P(X).
1. Montrez quefest lin´ ire.
ea
2.D´eterminezsonnoyauetsonimage.

Exercice 6 :SoitE=C∞(RR) etϕ:E→Eefiniond´catipplia’lpera∀y∈E,

ϕ(y) =y′′−4y′+ 3y

1. Montrez queϕest un endomorphisme deE.
2.De´terminezsonnoyau.ϕ ?est-il injectif

1

(II)

Semainedu12aoˆut2011

Exercice 7 :SoitE=C0(RR) etϕrua’ppltionlicaniesd´efiEa`iuqnofetuotnioct
f∈Eassocie la fonctiong:R→Rr,dnfie´apei
∀x∈R g(x) =Z0xt f(t)dt

1. Montrez queϕest un endomorphisme deE.
2. Est-il injectif, surjectif ?

rise´naeseilForm
Exercice 8 : Trace d’une matrice
Etantdonne´eunematricecarr´eeA∈ Mn(K),ond´altinfietrace de Acomme la
mmd´l´ementsdiagonauxdeA:
so e es e

n
Tr(A) =Xaii
i=1

1. Montrez que l’application Tr :Mn(K)→Korefunsteruseriae´nilemMn(K).
2.De´montrezquepourtoutesmatricescarreesAetBd’ordren, on a :
´
Tr(A×B) = Tr(B×A).
3.Ende´duirequ’iln’existepasdematricesAetBtelles queA×B−B×A=In

Exercice 9 :SoitE=C([01]RnO.)fie´dtinJ:E→Rpar
1
Z0
∀f∈E J(f) =f(t)dt

Montrez queJmrofenutserresu´eaielinE.

Exercice 10 :SoitE=C([01]Rl´eetionappeppa’acil`dislere.O)onnceitnoenllfonc
deDiracδ:E→R
f7→f(0)
1. Montrez queδefunsteil´nroemseruaeriE.
2. Les sous-ensembles{f∈E|f(0) = 0},{f∈E|f(0) = 1}deEsont-ils des
sous-espaces vectoriels deE?

Exercice 11 :SoitE=R3[X]. SoitF={P∈E|P(1) =P′(2) = 0}. Montrez que
Fest un sous-espace vectoriel deEet donnez-en une base.

Exercice 12 :Soitfun endomorphisme d’un espace vectoriel tel que pour tout
~x∈E, la famille~xf(~x)i´tl.eees
Montrez quefonnulleopplicatihte´itveuuenohomsea’ltleirotce.el

Isomorphismes et automorphismes

Exercice 13 :SoitE=Rn[XocnOdisnere`].T:E→E`itauot’allippticaquon
polynoˆmeP∈EˆnmoeassocielepolyQ´dfieinaprQ(X) =P(X Montrez que+ 1).
Test un automorphisme deE.

Exercice 14 :Soitn∈N⋆un entier naturel non nul etD:Rn[X]→Rn[X]
l’applicationqui`atoutpolynˆomeassociesonpolynoˆmed´eriv´e.
1. Montrez queDest un endomorphisme deRn[X].
2.Consid´eronsl’applicationΓl’applicationdeRn[Xd´meniefiarepnad]iulseˆm-

Γ =IdR[X]+D+D2+  +Dn

Montrez que Γ est un automorphisme deRn[Xtd]einrmte´einoszeosom-r
phismere´ciproque.

Exercice 15 :SoitEunK-e.v. etf∈ L(E) un endomorphisme deEt´vrefiina

f2−3f+ 2IdE= 0L(E)
1. Montrez quefest un automorphisme et exprimezf−1yelˆnemmodoepcmof.
2. Montrez queKer(f−Id) etKer(f−2Idseed)ssedtnosl´ppsuevirtaenemE:

E=Ker(f−Id)⊕Ker(f−2Id)

tcejsrueystete´mesriPro
Exercice 16 :Soitp:R2→R2appll’reiape´nfioidncita

∀(x y)∈R2 p(x y) = (4x−6y2x−3y)

1. Montrez quepestl.nie´iaer
2. Calculezp◦p´endirdu.Eeuqepest un projecteur.
3.De´terminezunebasedeKerpet deImp.

Exercice 17 :Soit~v= (v1 v2 v3)∈R3un vecteur deR3vri´entfiav1+v2+v3= 1.
Onconside`rel’applicationΦ:R3→R3paiefin´ed:r

∀x~= (x1 x2 x3)∈R3Φ(~x) =~x−(x1+x2+x3)v~

1. Montrez que Φ est un endomorphisme deR3.
2.D´emontrezqueΦestunprojecteur.

2

3.Pre´cisezlese´l´ementscaract´eristiquesdeΦ.

Exercice 18 :Soientpetqdeux projecteurs d’unK-espace vectorielE.
1. Montrez quep+qest un projecteursi et seulement sip◦q=q◦p= 0.
2. Supposons quep+qsoit un projecteur, montrez que

Kerp+q=Kerp∩KerqetImp+q=Imp⊕Imq

modoEnsemsihpr
Exercice 19 :SoitEunK-espace vectoriel etf∈ L(E) un endomorphisme deE
v´erifiantpourunentierp∈N⋆
fp= 0 etfp−16= 0
Montrez qu’il existe un vecteurx~∈Etel que la famille{~fx(x~)     fp−1(x~)}soit
libre.

Exercice 20 :SoitEunK-espace vectoriel etf∈ L(E) un endomorphisme deE
v´erifiantlarelationf3=−f. Montrez que

E=Kerf⊕Imf

Exercice 21 :Soientfetgdeux endomorphismes d ’un espace vectorielEqui
commutent. Montrez queImfetKerfsont stables parg.
Exercice 22 :Soientfetgdeux endomorphismes d ’un espace vectorielE.
1. ComparezKerf∩KergetKer(f+g),Im(f+g) etImf+Img.
2
2. ComparezKerfetKerf2,ImfetImf.

Exercice 23 :Soitfun endomorphisme d’un espace vectorielE. Montrez que
Imf∩Kerf={~0E⇐⇒}Kerf=Kerf2etE=Imf+Kerf⇐⇒Imf=Imf2

Misceuseoanll

Exercice 24 :SoitEunK-espace vectoriel etf∈ L(E) un endomorphisme deE
v´erifiantlarelation
f3+ 2f2−f−2IdE= 0
~
D´emontrezquepourtoutvecteurx~deE, il existe un triplet (c~b~a), unique tel que
•~a∈Ker(f−IdE)
••~cb~∈∈reKeKr((ff++I2ddIEE))
•x~=~a+b~+c~

On notera :

E=Ker(f−IdE)⊕Ker(f+IdE)⊕Ker(f+ 2IdE)

Exercice 1 .—
trice

Correction des

1.fltseppa’n´liireacaliontieuemtnsacenanoqialama-soci´ee`
A=02−1101

2.Imfenngveselestetcueseevaplrrde´entaquemnonirscaensssoci´esauxcolon
deAImf=VectR(20)(−11)(01)=Vect(10)(01)=R2.
Kerfesbm’lnessloeledesttauqe´’d´nilsnoidunsioutme`estsyom`gne,eaeriseoh
(S0)A×X0.Orenr´=net´smeiebtainteet´no,orrapnomelosetnavKerf=
{(−z2−z z) z∈R}=Vect{(−1−22)}.
3. CommeImf=R2,fest surjective, commeKerf6={0R3},fn’est pas injec-
tive.N

Exercice 2 .—ynth`ese..1.2d´Laonemrastontiaresarapylans-es
•Analyse :usppsonoqs’unuoitacilppaelletereai´einnlf:R3→R2existe.
Remarquons tout d’abord que les vecteursu= (100)~v= (110)w=

~ ~
(111) forment une base deR3nioat.iPsolscasino´treracaprouurleutilver,
des bases :
Soit (x y z)∈R3, montrons qu’il existe un unique triplet (λ1 λ2 λ3)∈R3
tel que

(1)λ1(100) +λ2(110) +λ3(111) = (x y z)

Cettee´quationvectoriellesetraduitenidentifiantlescoordonn´eesdansla
base can deR3terffimceonegnicaiasiyulle``earsetnxuaurnapnoidstnogals:
(1)⇐⇒λ1+λλ22++λλλ333===yzx⇐⇒λλλ213===yx−−yzz
Cesyst`dmetuneuniquesolution.Parcons´equent,lafamille~vuw~~
eme a
est une base deR3eD.a’rpe`lsLemme fondamental,fnetseemere`itetnt
uniquementd´etermin´eeparladonne´edef(~u) f(~v) f(~w). De plus, pour tout
vecteur