Exercice N°133: Fractions rationnelles et primitives

Description

⋆⋆′′⋆ ´ MPSI Lycee Rabelais Semaine du 12 aoutˆ 2011 Fractions rationnelles D´ecompositions en ´el´ements simples Applications Exercice 1 : D´eterminez la d´ecomposition en ´el´ements simples de C(X) des frac- Exercice 6 : Soit n∈ N .

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Mathématiques

Informations

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• Langue: Français

Extrait

MPSILyc´eeRabelias

Fractions rationnelles

Semainedu12aoˆut2011

ositcompen´eionsnest´lmeelsispmeDacilnoitsppA
´
Exercice 1 :´lmenestitnonee´esimplesdrmte´eD´dalzeniisopmoceC(X) des frac-Exercice 6 :Soitn∈N⋆. Simplifiez les sommes suivantes
1=kX=1k(k+ 1)S2=k=1(k+ 1)(k+
tion1srFanoit=Xne2ll2+sesX+5anivs:te.4u2F=X22X 7.+ 1F=X2(3XX−+1)12Sn1nXk2)1
.X23X+
−

+ 1
2.F(=X−1)(XX2−2)(X−3)
1
=
3.XF(X−1)2

5.F=X21X+ 1
+
6.F(=X21+)42

8.F=(X2+XX2+ 1)2Exercice 7 :vesdessisucc´eeseetD´´dsevireimrelzen
9.F=(X33−1)2f(x) =x2(x)1;+1f(x) = Arctanx
Exercice 8 :SoitP∈R[Xpnlonyoˆemcsni´de,`aracinessimpld,segedee´ru]n∈N⋆.
Exercice 2 :alzenimropmoce´dte´eDpmelstisdseonensitiemen´el´R(Xeˆnmorfse-cad)ntMozqreleuelypoQ=ri´eev´Pe′2de−PPP′P.′′.selleensder’apaesr´acin
tions rationnelles suivantes :Indication :idnscoadzlre´e
6−X2+ 1
1.F(=XX−1)3(X 4.+ 2)F=X42−X35X+2X+ 4Primitives de fractions rationnelles
2.F=(X2+ 1X)(6X+ 1)25.F=(X2+ 2X+X3)(X−1)2vEaxliedrictie´ce:9 :nine,setnaviusseivitimpreszlnemidselaeltervesinantldiqu´Dtere
X+ 1
=1.Zx1 +t5t12dt4.Zxt(t2dt+ 1) 7Zt2+ 1
3.F(X−1)3(X2−X+ 1)26.F=XX641.1++xt4+dt
Exercice 3 :Soitn∈N⋆etD´.zlnemierpmoce´daenoitiso.2n´el´ementssimplseedZxt(t2dt−1) 5.Zxt3d+t1 8.Zx(t2d+t1)2
C(X) des fractions rationnelles suivantes :xt4+
1 F= 1 2 F=Xn−13 F 3.= 1Zxt2t−+t11+dt6.Zt4−11dt9.Zx(t2+tdt+ 1)2

Xn−1Xn1
−

(X−1)(Xn−1)

Exercice 4 :Soitn∈N,n≥2. On noteω0 ω1     ωn−1les racinesnesi`emde
n−12
l’unite´.Pre´sentezsouslaformeF=PQla fraction rationnelleFXXωk
=
k=0−ωk

Exercice 5 :Soitn∈N.´Dimentereplesde´nene´letnemmissadzlco´eosmpioitC(X)
des fractions rationnelles suivantes :
1 1!n!
∙
1.F=X+X(X+ 1) +∙ ∙+X(X+ 1)∙ ∙ ∙(X+n)
2.F=n!X−n)
X(X−1)∙ ∙ ∙(

1

sleelnnt`adenanemritaimvePsrsitaoinorscaitserf
Exercice 10 :estl-indiinanquouprimit´egralesnaet,sneviseusvitniselzeluclaC
tervallesdevalidit´e:
1.Zx+1ococsts2t dt5.Z0π22 +dctost9.Zxe2td+ett
2.Zxni1+ssint2t dtZ0π41 + sidnttcost10.Zxc1+httht dt
6.
3.Zxcodst4t7.Z20π1 +dctos2t11.Zxhc+1hct2tdt
4.Zx3 +dctost8.Zx1d+tet12.Zxcht+chtsht dt