Exercice N°204: Fonctions numériques, rappels

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⋆⋆ Exercices d’approfondissement Injectivit´e, surjectivit´e, bijectivit´e des applications Discussion d’´equations Exercice 18 : On pose pour tout x∈ R, Exercice 23 : Discutez, suivant la

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Mathématiques

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Extrait

Exercices

nIctjeitiv,s´ejeurvitce´tijib,itceedesvit´icatapploisn
Exercice 18 :On pose pour toutx∈R,
√
=
f(x)x21+x+ 1
1.V´erifiezquef:R→R´efinie.estbiend
2.Re´soudreetdiscutez,suivantlavaleurduparame`trer´eely∈Rquatl’´enoi

(7)

y=f(x)

d’approfondissement

3. L’applicationfcejrevitjib,itceleeljeinivctsue,esbmeledisamegsve.Pr´ecisezl’ent-esf(R).
4.V´erifiezquefinduit une applicationf|: [−12+∞[→]02√3] bijective, dont vous
pre´ciserezl’applicationre´ciproque.

Exercice 19 :Soitf:R→Rrapeinfie´d
f(x) =ex−12−−2ex−+x+34

six <1
six≥1



Montrez quefipecr´one.quroiveejecttermtd´eosannizeacitppilstbie

´
Etude des variations
Exe1x

rcice 20 :1. Soitg:R→Rd´onniefiarepalofcnitg(x) =−22+√x2+ 1
(a) Etudiez les variations deg.
(b) Montrez quegenuesilae´rendioctjebiRsur ]−10][.
2. Soitf:R→Rpeinrationd´efilafoncf(x) =−2x1+2+1√x2+ 1
(a) Dressez le tableau de variation def
(b) Montrez que limf(x) +x−1 = 0.
x→−∞
(c)Etudiezlapositiondelacourberepre´sentativedeftra`esasyspmotetparrappo.s
3.De´duisezdel’e´tudepre´c´edentequefeiondjectnebisiuee´larRsur un intervalleEque vous
pre´ciserez.Ve´rifiezquel’applicationr´eciproquef−1std´efinietpeuotruox∈Epar
f−1(x 4() =x11)+1−x
−

´
tesmocse`lpEedut
Exercice 21 :Soitn∈N⋆zealutidE.iqerm´nuontincforapeinfie´deu
fn(x=)ocsisn2(nxx)
Indication :vouspouzerrcsidretuviustlanarap´eitden.

Exercice 22 :Etudiez la fonctionfrapeinfid´e
f(x53=)x45+q|4−x2|

8

atqunsiouosnssciD´eid’
Exercice 23 :Ducsimae`rteuedrpuraantlavaltez,suivλ∈Rl’existence et le nombre de solutions
del’´equation
lnx−λ(x+ 1) = 0

Exercice 24 :Pourx∈[0 π4[∪]π4;π2[, discutez, suivant la
l’existenceetlenombredesolutionsdel’e´quation
ln(λcosx)−112
cos( ) + = 0
2x2

valeurduparam`etreλ

Indication :vous pourrez effectuer le changement d’inconnuet= cos2x.

∈R+⋆