Exercice N°205: Fonctions usuelles

Description

Exercices d’approfondissement Fonctions logarithmes, puissances, exponentielles Trigonom´etrie hyperbolique 2 Exercice 17 : Calculez les limites suivantes Exercice 26 : Soient n∈ N, (a,b)∈ R . n n √ X X 1/x x 1/x lim x lim x lim x .

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Mathématiques

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• Publié par: exercice-mpsi
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• Langue: Français

Extrait

Exercices d’approfondissement

Fonctions logarithmes, puissances, exponentielles Exercice 17 :Calculez les limites suivantes limx 1x limx √ x limx 1x  x→+∞ x→0 + x→0 + Exercice 18 :Comparez limx (x x ) et x l → im 0 + ` x x ´ x . x→0 + Exercice 19 :´Rsesnatio´equzlesolve 1. ln|x|+ ln|x+ 1|= 0 2. 9 x + 3 x −12 = 0. 3. 2 2x −3 x− 2 1 = 3 x+ 2 1 −2 2x−1 Fonctions hyperboliques Exercice 20 :Soit (a α)∈R 2 me`tsyseeR´.eldroues  sh hcx xh hc+ +s y y =2 =2a ach sh  α α

Exercice 21 :Simplifiez l’expression q 1 + 2x 2 + 2x p 1 +x 2 + q 1 + 2x 2 −2x p 1 +x 2 

Exercice 22 :deesivssceucssee´vire´dselzeluclCanocnitaloffe´nfidriepa f(x) =e xcha ch (xsha)

quroipecestionFoncreobhspyse´riluq Exercice 23 :Soitt∈R, etx= sht. Simplifiez les expressions suivantes : 1.y 1 = p √ 1 +x 2 + 1, 2.y 2 = p √ 1 +x 2 −1, 3.y 3 = p √ 1 +x 2 +x, 4.y 4 = p √ 1 +x 2 −x,

  Exercice 24 :fiilpmiSezf(x) = Argch r chx+ 2 1 !

Exercice 25 : 1.Etudiezlafonctionde´finieparf(x 1 Ar)=h 3 gt x+ 3+ x x 3 2 −3Argthx. 2.De´duisez-enuneexpressionsimpledeArgth 3x+ 3+ x x 3 2 , pourx∈]−11[. 1

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lique´monirtepyheobreTgori Exercice 26 :Soientn∈N, (a b)∈R 2 . n n CalculezC= X ch (a+kb) etS= X sh (a+kb) k=0k=0

Correction

Exercice 17 — . •x 1x = exp( 1 x lnxnaegemtntceunuhc).Oneffe:eceerdituitimelttbairavede´ruopel Posey(x  ln( ) = x x) − x − → c − .c + − . − ∞ →0 1 C exp(y)− c y o − n − t. →1 A →0 Par composition des limites, il s’ensuit que limx 1x = 1. x→+∞ •x √ x = exp( √ xlnx). Posonsx−−→0 y =( ) √ xlnx− x − c → . → c 0 . 0 + 1 C A 1 exp(y)− co − n − t → . y Par composition des l t que limx √ x = 1. imites, il s’ensui x→0 + •x 1x = exp( 1 x lnx). Posonsy(x  ln( ) = x) −− o − pa →−−∞ y→−∞ 0 A C 1 x x→0 + exp(y)−−−−−→

Par composition des limites, il ue limx 1x = 0. N s’ensuit q x→0 + Exercice 18 .—soitf(x) =x (x x ) = exp[x x lnx], etg(x) = ` x x ´ x = exp[xln(x x )] = exp[x 2 lnx]. Etudions les limites defetgau voisinage de 0 + . •x x = exp[xlnx]. A l’aide du changement de variabley(x) =xln(x), on a Posonsy(x) =xlnx−− o − pa −→0 − x→0 + 1 y→0 1 A exp(y)−−−→ Parcompositiondeslimites,ilenr´esultequelimx x e´udendnrostila=1.PA x→0 +  o ,Par O ue limx x ln(x) =−∞, puis par conti q x→0 + lenantmeequtneill,eliivnefitnuit´edel’expone

•

x l → im 0 + f(x) = 0 D’autre part,g(x) = ` x x ´ x = exp(x 2 lnx). Posonsy(x) =x 2 lnx−− c. − c − . →0 x→0 + exp(y)− co − n − t. →1 y→0

Par composition des limites, il s’ensuit que

Conclusion :c’est pas pareil ! !

x  x l → im 0 + g = 1( )

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