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Algèbre linéaire

1

Réponses et Indications (Systèmes linéaires)

Exercice 1
1) Il n’existe pas de polynôme de degré 2 vérifiant les conditions.
2) P(X)=1(3X3+X2−2X+3) .

Exercice 2
P(X)=(X+1)(X−1)2(2X+3)=2X4+X3−5X2−X+3 .

Exercice 3 (d’après ISG 1998)
1) y1=x1+x2+x3
yy23==22xx11++23xx22++35xx33.
2) x1=521,x2=304 etx3=410 .

Exercice 4
+ + = −
Le système équivaut à :xmm−ymy+zzy= −m4+m1−m.
−(+1)=22
Sim≠0 etm≠ −1 :S=4m+,2m−2,−3m+2.
m m m
Sim=0 :S=. Sim= −1 :S= {(2,y,y−4) /y∈}.

Exercice 5
x+y++(4−m)z=0
Le système équivaut à : (3m)y(3m)z0 .
−(3−m)(m−−1)z==0
1) est unique si et seulement siLa solution (0,0,0)m≠1 etm≠3 .
2) Sim1 :S={(−2z,−z,z) /z∈}.
=
2
Sim=3 :S=(x,y,−x−y) / (x,y)∈.

Exercice 6
Le système équivaut à :(1x+)yy+(2(− λ)1)zz== .00
+− λ − λ
(4− λ)(λ −1)z=0
Siλ ≠1 etλ ≠4 :S={)0,0,0(}.
Siλ =1 :S=(x,y,−x−y) / (x,y)∈2.
Siλ =4 :S={(x,x,x) /x∈}.

Exercices de Mathématiques ECS1 - Catherine Laidebeure - 2012

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