Méthode N°08: Géométrie élémentaire du plan

Description

erMPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr semaine du 3+1 septembre 2011 ´TECHNIQUES & METHODES S07 NB : cette fiche reprend les techniques n´ecessaires minimales; elle ne constitue donc pas un objectif, mais un pr´erequis!

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Mathématiques

Informations

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  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e

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TECHNIQUES & METHODES S07

semaine du 3+1erseptembre 2011

NB :ceseasriinuqse´nesficteetcnerperehhcetseldminimales;elledeutpcnoocenitsnifctai,munasjeob!sqeiu´rreuspn
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GEOMETRIE ELEMENTAIRE DU PLAN

Commentd´eterminerunee´quationcart´esienne(E)d’une droite
Lorsque la droiteDsedte´nfieiapr:
−−→
◮epnrure`eAetu~, alors (E) s’obtient en explicitant (en b.o.n.d.) la relation Det(MA~u) = 0
−−→
◮un pointAet un vecteur normal~nalors (E) s’obtient en explicitant (en b.o.n.) la relation (AM|~n) = 0
−→
◮deux pointsAetB, alors (A AB)est`prenuerdeeD.
◮meestsyatqu´ed’arapsnoiuqirte´mes,vouspouveznu
`
⊲dered´tereimenurrnpee`D,
⊲imelerineridmetcltnerapertemae`t.
´
Commentd´eterminerunrepe`red’unedroite
◮Siax+by=ceunsteactre´isqeauitnoennedeD,
´
on obtient un point deD.`etetauqe´’llpmocnoicutiarnpdere`elirtneolesioutvaouunnt
les vecteurs directeurs deDsont les vecteursu~yxrefiinelt´’qeauitescoordonn´eesv´nunnod,slltnono
homoge`neassocie´eax+by= 0. En particulier,u~−abest un vecteur directeur deD.
`aalurtermnoucevnDest~ab
n
◮Sixy==ab++tαβt;t’´equatiyst`emede`rtqieunopsramadeD
∈Rest un s
un point deDest le pointAba.
un vecteur directeur deDperano´nsedt~uβα
Comment d´terminer l’intersection de deux droites
e
SoitDetD′(deuxiorddsetnfie´rseipeesivctenemartpE)ax+by=cet (E′)a′x+b′y=c′. Les droitesDet
a a′tcneelssi’tn`eles,elasparall
D′aptnosle`ellrasssib b′= 0. LorsqueDetD′ne sont p t erse en un point unique. Ses
 
v´erifientlesyste`meax+b′yy==cc
´
coordonneesa′+b
x
Remarque :uesqusvonncossairolationdezenuperamae´rtsiD′:yx==ba++tβtα. Remplacez directementxety
dansl’e´quationdeDpoaursaeur.duVdvuailsenedz´leaer`mtet.
Commentd´eterminerleprojete´orthogonald’unpointsurunedroite
SoitMxy00etD’´eduaeqadlitroise´ennenoittracax+by=c. On noteHxy11nogohtroruslasonet´eprojD.H
est l’unique point du plan tel que(HH∈MD)⊥Dmretrenicsesdroon´ons,ee.Pourd´e
nuoliti(etiordalednoitaistr´eamarepunseM H),yx11==xy00++tatb
jnce´rienonneiederacnse´tqu´eioatdatel’nsDpour obtenir successivementtpuisx1ety1.
Commentde´terminerladistanced’unpointa`unedroite

On sait qued(MD) =M H,u`oHandleroept´jerteogoholtseMsur la droiteD.Ceendantiln’estpas´ecessaire
dede´terminerHpour avoird(MD(ezunissiere,rep`tnavveuqcsuoanno)ui.SuA~), un pointAet un vecteur normal
~nede´tseeinntaoicnraeibuo,uqe´enunD,ax+by=cvous utilisez l’une des trois expressions ci-dessous :,
−−→−−→

d(M0D) =|Det(kAMuk0u~)|=|AkM~n0k~n|=|ax0a+2b+y0b2−c|
Commentd´eterminerlesbissectricesdedeuxdroitesse´cantes
SoitDetD′xdeud´ssetiordsetnaceiesr´efinctivespeptramene(E)ax+by=cet (E′)a′x+b′y=c′. Les
bissectricesBetB′noctnotssespointsitu´eesdMedstnatsidiuqe´DetD′mieretd´On.itnoqeauru´senelesiennt´esscar
en explicitant la relation
Mxy∈ B ∪ B′⇐⇒d(MD) =d(MD′)
1

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Commentde´terminerl’´equationcartesienned’uncercle
´
siCapsrnoectnerteosnrayon,expliciteezbno.n.d.l.raleationedost´ennkΩMk2=R2.
−−→−−→
siCsenodtpe´nnurasedeiasdetm`s[reAB], explicitez en b.o.n.d. la relationM AM B= 0.
siCtdesarepn´onespointstroisdesA B Cencitseszlefficotereimen,´da b cdeauqenoitd´’leC,x2+y2−2ax−
2by=cueenbteoemt`ysestnac¸alpmernnaltosvlrne´exetysdeeelrapocsedorr´nnoA, deBpuis deC.

Commentde´terminerl’´equationcarte´sienned’unedroitetangenteaucercle
voustrouvezl’e´quationdelatangenteaupointHyx00pare´dbuodlementdes termes :

e´quationducercle
x2
y2
2x
2y

→
→
→
→

e´quationdelatangenteenH
x×x0
y×y0
x+x0
y+y0

2