Méthode N°24: Polynômes à une indéterminée

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erMPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr semaine du 3+1 septembre 2011 ´TECHNIQUES & METHODES S22 NB : cette fiche reprend les techniques n´ecessaires minimales; elle ne constitue donc pas un objectif, mais un pr´erequis!

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Mathématiques

Informations

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• Nombre de lectures: 34
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• Langue: Français

Extrait

MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e

´
TECHNIQUES & METHODES S22

semaine du 3+1erseptembre 2011

NB :ceseasriinuqse´nesficteetcnerperehhcetseldminimales;elledeutpcnoocenitsnifctai,munasjeob!sqeiu´rreuspn
ˆ ` ´ ´
POLYNOMES A UNE INDETERMINEE

Operations dans K[X]
´
Pourv´erifierqu’unpolynoˆmeestlepolynˆomenul,jemontreauchoix,que
◮les coefficients deP ;sont tous nuls
◮Ptsee´agnentit;fgr´ededectemstri
◮Pr`esueafnieire´dedt´rgenet a (au moins)n;e´ticicmultiplt´eesaveniseocpm+r1ca
◮Prade´eitfininneeude`ssop.sicen
Remarque :eci`aantcliqunappeP−Qusrarentege´unsinee´tilanylopert,cesniqutechmrteseepedomettnˆomes.
Division euclidienne dans K[X]
Lorsque les coefficients deAetB´dsecnassiupselt.esntsaisroecopes,sejicetpxilivanonsuvisiladisetno
Pourde´terminerR,’jnarelatio´evaluelA=B×Q+Rnia(uqis´eiv),eseseserd´ntoixpausαqui sont racines deB.

Exercice 1 :Soitn≥imenteretsdeeler2.D´neidedenadelisivneioliucA(X) =Xn+Xn−1+X par (+ 1X−1)2.

reponse
´ :R(X) = 2nX+ (4−2n)

Racines d’un polynome
ˆ
Pourde´terminerl’ordredemultiplicite´deαcomme racine dePesmultipdleessr:asicinirasitnoacartce´litilase’u,j
˜ ˜α) =  =P˜(r−1)(α) = 0 etP˜(r)(α)6= 0, alorsαest d’ordr
P(α) =P′( er.

Exercice 2 :D´eeredo’drnileetmrdenecirameom1cX5+ 7X4+ 10X3−2X2−11X−5re´opsn:e3

J’utiliselesliensentreracinesetcoefficientsd’unpolynoˆmescinde´
◮uodrprmin´etesracerlenu’dsenimoˆnylope;
◮ocnieunnoita’dsnd’mequ´esyun`estrroupsr(eudso´ex1     xn).
x+y+z= 8
Exercice 3 :e´osduerRnsdaC3me`estsyleyxx+×zxy+×zyz==−8.19

re´ponse:les solutions sont les permutations de (13−6).

Factorisationsdepolynˆomes
Obtenirlade´compositionprimairedansC[Xesraverlsdecineveei]r,rtuotna`P:
˜
1sneleermid´etjeelexocpmniserscaαidePlvso´enr,esnadtnaCtauqe´’lionP(z ;) = 0
2t´cieltmuliipjecarordseedclluleseride chacune de ces racines ;
3itisopmoiamirpnoxile,ireest’dseelpa`ror`eth´ed´ecmedea∈Ctel queP=a(X−α1)r
4j’obtiensapar identification des coefficients.

1×    ×(X−αp)rp;

Exercice 4 :Soitn≥opmoce´d,2nssedaC[X]P= 1 +X+  +Xn−1
.
re´ponse:P=Qkn=−1(1X−ωk`o,)uω= exp(2iπn)
Pourobtenirlade´compositiondeP∈R[Xlbos-agidesiiserit´edent,sejbieltuliepxusiurteacctdu´errrpne]fedtiudo
toires. Sinon :
1esjeecd´poomPdansC[X] en produit de facteurs (X−ζi)ri,o`ulesζinoltsearicenrse´sedleelucsoplomesexP
2(e´:steursfacjugusconerejuorgelepX−ζj)sj(X−ζ¯j)sj=X2+βjX+γjsj, avec (βj γj)∈R2,
3ue´ddeiuqs’jneP=a(X−α1)r1×    ×(X−αp)rp×X2+β1X+γ1s1×    ×X2+βqX+γqsq
4ej´dmineeterapar identification.

Exercice 5 :dasnsepoomecD´R[X],A(X) =X4+X2 et+ 1B(X) =X4+ 1.
´A(X) = (X2−3X+ 1)×(X2 + 3X+ 1)B(X) = (X2−2X+ 1)×(X2 + 2X+ 1)
reponse :

1

Po

Arithm´etiquedansK[X]
urde´terminerlePGCDdedeuxpolynoˆmesAetB,
◮j’utilise l’expression du pgcd lorsqueAetBos´dtnce
◮je mets en œuvre l’algorithme d’Euclide.

Exercice 6 :

D´eterminelePGCDdeA=X

ompos´esenproduitsd’ir´eductibles
r

7−X1 etB=X3+ 1:noesepr´A∧B= 1
−

2