Méthode N°27: Espaces vectoriels

Description

MPSI Lycee Rabelais Semaine du 3+13 aout^ 2011 Techniques & M ethodes S24 NB : cette che reprend les techniques n ecessaires minimales ; elle ne constitue donc pas un objectif, mais un pr erequis !

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Mathématiques

Informations

• Publié par: methode-mpsi
• Nombre de lectures: 32
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

MPSILyc´eeRabelias

Techniques

&Me´thodes

S24

Semaine du 3+13 ˆt 2011
aou

NB :ettecreprficheseetnelduqsehcinsaesecn´esirminimalespcsanuboitutdenoaisunpr´jectif,mqere!siule;snocenel

Espaces Vectoriels
Espaces et sous-espaces vectoriels
Pour prouver qu’une partieFd’unK-evEest un sev deEacaltcarire´itasj’,plapueiqondessev:
~
1je montre queF0euqrtduffils:ifieri´eevsentnoivedE∈F.
2je montre queFos:s(tie´nieriamoibapcrnolsansieablestst~~yx,)∈F2et (λ, µ)∈K2irefiuqej,vee´λ∙~x+µ∙~y
appartienta`F.

¸ ns pour montrer que
Il existe aussi d’autres facoFest un sev deE:

e´rifierqueFdtiarepetlesesegdnveneranu´rpeEst’e,cerid-a`-bmesne’lsreledetouteslescomibansinolsnie´ia
Iv e
d’une famille de vecteurs deEnutıˆannocnteC.tt`redseteohet´mqu’olorscaceeseffimarapeagtr´edeF;
´ ifier queFt l’intersection d’autre
I sev ; sver es
Ifiireuqree´vF ;est la somme de sev
Iri´evuerqfieF (prochain chapitre). ´ ire liest l’image ou le noyau d’une applicati
on nea
Pourd´emontrerque(E,+,∙) est unK-ev,
Ijvee´irefiisE:ceeetnsre´fe´redvesednuKn,K[X],Kn[X],RN,Mn,p(K),An(K),Sn(K),F(I,R),C(I,R),. . .
I´vejifieriesEnce!r´ef´ere’dnuveed-sseapectuesouns
Icourse,njd’ernierredae´nfititulisilen!io
sess-cepaouStnemeriapusse´lp
SoitF1,F2deux sev d’unK-evEuerqrentmo´euodrp,E=F1⊕F2e´nfitioi:ndalesilitu’j,
soit~x∈EFIX´E.Par-esytnysse`heanal, je montre qu’il existe un couple (y~1,y~2)∈E2unique, tel que
•x=x1+x2
~ ~ ~
•x1∈F1.
~
•x2∈F2
~
conclusion : tout vecteur deErce´edti’serdnuevtcuesemoem’diquecommfa¸conunF1et d’un deF2.
Onpeutaussiutiliserlacaracte´risation:
soitx~∈Eitcrmmcoomesd’menomeqertli’ue´’sjnuevtcuedreF1et d’un vecteur deF2.
~
soitx~∈F1∩F2, je montre que~x= 0E.

Exercice 1 :SoitE=F(R,R) l’ensemble des fonctions deRdansR.
1. Montrez que l’ensembleP(resp.I) des fonctions paires (resp. impaires) est un sev deE.
2. Montrez queE=P⊕I.
r´eponse:1. La fonction nulle est paire. Soitf, g∈P soit (2 ,λ, µ)∈R soit2 ,x∈Ralors (λf+µg)(−x) =λf(−x) +µg(−x) =λf(x) +µg(x) = (λf+µg)(x). Donc

λf+µgepaste.irapD’,vessdectracalaesr`Pest un sev deE. 2. Soitf∈E(ecnuelpuole’istxintmoqureesnohte`s-nyylesrana.Pag, h) de fonctions tel quef=g+h,
aire.Analyse :supposons qu’un tel couple de fonctions existe. Soitx∈Ralorsf(f−(xx==))gg((xx))−+hh((xx))’D`ojuterieg(x) = 1`f(x) +f(−x)´
gpaire,himph(x2)=12`f(x)−f(−x)´
yStn`hse:e´rcefireuqeicelelpuoroipemqut,env´jeosulestsudrpitnofinied´eessuci-depeml`ob:´eosgest paire,hest impaire et pour toutx∈R,g(x) +h(x) =f(x)

Conclusion :`eth,nseselyyn-sapanarl’unceetsten’exi´vlerpuoovsnuoass(ontincfodeelpuocnu’de´ticig, h) tel quegest paire,hest impaire etf=g+h.Pard´efinitio,n

cecirevient`adirequeE=P⊕I

Familles de vecteurs
SoitF= (~u1,~u,...n) une famille finie de vecteurs deE.
Pour montrer queFest libreppiluqlej,a’ion:ad´efinit
1soit (λ1, . . . , λn) des scalaires tels queλ1∙u~1+λ2∙~u2+∙ ∙ ∙+λn∙un=~0.
2ssentiobunntveoutcroe´ev(e’jeillcettduisalite´egetrajSELo)
3ejuqertnomtie´setelaseulepossibilλ1=∙ ∙ ∙=λn= 0.
Pour montrer queFsee´gtre´nirtaecn:itio´efinledailuqa’ppj,
1soitx~∈Earbitraire. Je cherche (λ1, . . . , λn) des scalaires tels queλ1∙~u1+λ2∙u~2+∙ ∙ ∙+λn∙un=.x~
2unvent´eitalegieorctvebo’j(elluossneitceise´ttetjduraSEL)
3’´ecjnnceehol`tmesesyolution(compatibel.)tjeeonemeqtrilu’emdamuatsniosenu
Pour montrer queFest une baseno:asite´ir’j,ctracalaueiqplap