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PSI MATHEMATIQUES
Octobre 2011
Feuille d’Exercices DÉterminants Exercice 1:(Mines 10) a+b a+c b+c 2 22 22 2 Calculera+b a+c b+c.   3 33 33 3 a+b a+c b+c Exercice 2: Calculer les dÉterminants d’ordrensuivants : 1 2 3∙ ∙ ∙n 31 0∙ ∙ ∙n   n 12 0∙ ∙ ∙n a)det(1 +aiaj), nIN ,(a1,∙ ∙ ∙, an)IK, b) 1i,jn . . . . ...   123∙ ∙ ∙0 1 1∙ ∙ ∙1 2a a+b a+c 1 10 0 c)a+b2b b+cd) . . .0.0   a+c b+c2c 1 00 1 Exercice 3: Calculer les dÉterminants suivants, d’ordren, en formant une relation de rÉcurrence : 0 0∙ ∙ ∙0 0a10 1∙ ∙ ∙∙ ∙ ∙1 0 0∙ ∙ ∙0a20 10 1∙ ∙ ∙1 a) b). . .∙ ∙ ∙. ...1 0 1∙ ∙ ∙  an0∙ ∙ ∙0 10 0∙ ∙ ∙∙ ∙ ∙1 0 3 Exercice 4: Soit(a, b, c)IC ,a6=cetnIN: on considÈre les dÉterminants suivants : b a0∙ ∙ ∙0 b aa∙ ∙ ∙a aa b∙ ∙ ∙a . .ab b∙ ∙ ∙b aa c∙ ∙ ∙a c ba.. . .. . . .. .. . . .;Bn..b..;Cn=..b.. An= = 0.b.0 . . .. . . . . .. . .. . . . . ... . .a.. . .a .. . .a   b∙ ∙ ∙b bb c∙ ∙ ∙∙ ∙ ∙c b 0∙ ∙ ∙0c b 1) CalculerAna l’aide d’une relation de rÉcurrence. 2) CalculerBnet en dÉduireΔn= det((|ij|)). 1i,jn 3)SoitJnla matrice d’ordrendont tous les coeffs sont Égaux À 1. Montrer que Pn(x) =det(Cn+xJn)(oÙCnest la matrice associÉe ÀCn) est un polynÔme de de-grÉ infÉrieur ou Égal À 1. CalculerPn(a)etPn(c)et en dÉduire une valeur deCn
Exercice 5: DÉterminer le dÉterminant de l’endomorphismefdeMn(IR)dÉfini par : t M∈ Mn(IR), f(M) =M+M.
2 Exercice 6: SoitnIN ,(A, B)∈ Mn(IR). On suppose queAetBsont semblables dansMn(IC). 1. Justifier que toute matriceMdeMn(IC)s’Écrit :M=M1+iM2avec(M1, M2)2 Mn(IR). 2. Justifier l’existence de deux matricesUetVÀ coefficients rÉels telles queU+iVGLn(IC)et(U+iV)A=B(U+iV). 3. Montrer que l’applicationλ7det(U+λV)est un polynÔme non nul surIC. 4. En dÉduire l’existence deλ0IRtel queU+λ0VGLn(IR). 5. Montrer queAetBsont semblables surIR.
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