Sujet : Algèbre, Algèbre bilinéaire, Rang d'une forme quadratique

Description

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Rang d’une forme quadratique Exercice 1 [ 00026 ] [correction] ?

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Spécialité

Informations

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• Langue: Français

Extrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Rang d’une forme quadratique

Exercice 1[ 00026 ][correction]
Soientf1 f2∈E?indépendantes etqla forme quadratique définie par

q(x) =f1(x)f2(x)

Déterminer le rang de la forme quadratiqueq.

Enoncés

Exercice 2[ 00027 ][correction]
Soitϕune forme bilinéaire symétrique non dégénérée, c’est à dire de rangn, sur
unK-espace vectorielEde dimensionn.
PourFsous-espace vectoriel deE, on note

F⊥={x∈E∀y∈F ϕ(x y) = 0}

a) Montrer queF⊥est un sous-espace vectoriel deEde dimensionn−dimF.
b) JustifierF⊥⊥=F.
c) Montrer queF⊕F⊥=Esi, et seulement si, la restriction deϕàFest non
dégénérée.

Exercice 3Mines-Ponts MP[ 02762 ][correction]
Soit surRnla forme quadratique
Q(x1     xn) =X

Trouver son rang.

xixj
16ij6ni6=j

1

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
La forme polaire de la forme quadratiqueqest donnée par
ϕ(x y)=(21f1(x)f2(y) +f1(y)f2(x))
On a
x∈kerϕ⇔ ∀y∈E f1(x)f2(y) +f1(y)f2(x) = 0
Les formes linéairesf1etf2étant indépendantes, les hyperplanskerf1etkerf2
sont distincts.
Poury∈kerf1\kerf2, on obtientf1(x) = 0. De mme on montref2(x) = 0et
ainsikerϕ⊂kerf1∩kerf2.
L’inclusion réciproque étant immédiate, il en résulte
rgϕ=codimkerϕ= 2

Exercice 2 :[énoncé]
a) Soit(e1     ep)une base deF.
F⊥est un sous-espace vectoriel deEcar intersection des noyaux des formes
linéairesfi:x7→ϕ(x ei).
Ces formes linéaires étant indépendantes (carϕnon dégénérée) donc
dimF⊥=n−p.
b) On aF⊂F⊥⊥et égalité des dimensions donc égalité des espaces.
c) SupposonsF⊕F⊥=E. La matrice deϕdans une base adaptée est de la
formeA00BavecA∈ Mp(K)etB∈ Mn−p(K). Or cette matrice est de
rangndonc rgA=pet doncϕ|Fn’est pas dégénérée.
Supposonsϕ|Fnon dégénérée. Soitx∈F∩F⊥. On a pour touty∈F,
ϕ(x y) = 0, orϕest non dégénérée doncx= 0puisF⊕F⊥=E.

Exercice 3 :[énoncé]
Dans la base canonique, la matrice deQest
1
0
2(1)...
de déterminant
(n−1)(−1

(1)
0

)n−1
2n
n.

Sin= 1, rgQ= 0. Sinon rgQ=

2

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