Sujet : Algèbre, Espaces vectoriels, Opérations sur les sous-espaces vectoriels

Description

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Opérations sur les sous-espaces vectoriels Exercice 1 [ 01691 ] [correction] Soient F et G des sous-espaces vectoriels de E.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

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Extrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Opérations sur les sous-espaces vectoriels

Exercice 1[ 01691 ][correction]
SoientFetGdes sous-espaces vectoriels deE.
Montrer
F∩G=F+G⇔F=G

Enoncés

Exercice 2[ 01692 ][correction]
SoientFetGdeux sous-espaces vectoriels d’unK-espace vectorielE.
Montrer queF∪Gest un sous-espace vectoriel deEsi, et seulement si,F⊂Gou
G⊂F.

Exercice 3[ 01693 ][correction]
SoientF GetHdes sous-espaces vectoriels d’unK-espace vectorielE. Montrer
que :
a)F∩(G+H)⊃(F∩G) + (F∩H)
b)F+ (G∩H)⊂(F+G)∩(F+H).

Exercice 4[ 01694 ][correction]
SoientF,GetHtrois sous-espaces vectoriels d’unK-espace vectorielE.
Montrer que
F⊂G⇒F+ (G∩H) = (F+G)∩(F+H)

Exercice 5[ 01695 ][correction]
SoientF G F0 G0des sous-espaces vectoriels deEtels queF∩G=F0∩G0.
Montrer que
(F+ (G∩F0))∩(F+ (G∩G0)) =F

Exercice 6X MP[ 03116 ][correction]
SoientEun espace vectoriel de dimension finie etu∈ L(E)nilpotent.
SoitSun sous-espace vectoriel deEstable paruet tel que

Montrer queS=E.

E=S+Imu

1

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
(⇐)ok
(⇒)SupposonsF∩G=F+G.F⊂F+G=F∩G⊂Get de mmeG⊂Fet
F=G.

Exercice 2 :[énoncé]
Par contraposée, siF6⊂GetG6⊂Falors∃x~∈x~F∈ Get∃y~∈yG~∈F.
~x+~y∈Fcarx~+y~∈F⇒y~= (~x+~y)−x~∈Fce qui est exclu.
x~+y~∈ Gcar~x+y~∈G⇒~x= (x~+~y)−y~∈Gce qui est exclu.
Ainsi, on ay~~x∈F∪Getx~+y~∈ F∪G.
PuisqueF∪Gn’est pas stable pour l’addition, ce n’est pas un sous-espace
vectoriel deE.

Exercice 3 :[énoncé]
a) Soit~u∈(F∩G) + (F∩H), on peut écrire~u=x~+~yavecx~∈F∩Get
y∈F∩H.
~
On a donc~u=x~+~y∈Fca~y~∈Fetu~=x~+~y∈G+Hcarx~∈Gety~∈H.
rx
Ainsiu~∈F∩(G+H).
b) Soitx~∈F+ (G∩H), on peut écrireu~=x~+~yavecx~∈Fety~∈G∩H.
On a donc~u∈F+Gcarx~∈Fet~y∈Get aussi~u∈F+Hcarx~∈Fety~∈H.
Ainsi~u∈(F+G)∩(F+H).

Exercice 4 :[énoncé]
F+ (G∩H)⊂F+GetF+ (G∩H)⊂F+Hdonc
F+ (G∩H)⊂(F+G)∩(F+H).
Supposons de plusF⊂G.
Soit~x∈(F+G)∩(F+H). On ax~∈F+G=Getx~=u~+v~avecu~∈F
v∈H.
~
~v=~x−u~∈Gdonc~v∈G∩Hpuisx∈F+ (G∩H).

et

Exercice 5 :[énoncé]
⊃: ok
Soit~x∈(F+ (G∩F0))∩(F+ (G∩G0)).
On peut écrire~x=u~+~vavec~u∈Fet~v∈G∩F0etx~=u~0+v~0avec~u0∈Fet
~v0∈G∩G0.

u~−u~0=v−v~∈F∩G=F0∩G0.~v=−(~v0−~v) +v~0∈G0donc
~0
v~∈G∩F0∩G0=F∩G⊂Fpuis~~u+~∈F. Ainsi
x=v
(F+ (G∩F0))∩(F+ (G∩G0))⊂Fpuis l’égalité

Exercice 6 :[énoncé]
Montrons par récurrence surk∈N?

E=S+Imuk

La propriété est vraie par hypothèse pourk= 1.
Supposons la propriété vraie au rangk>1.
On a évidemment
S+Imuk+1⊂E

Inversement, soitx∈E. Par hypothèse de récurrence, on peut écrire

Or, on peut aussi écrire

On en déduit

x=a+uk(b)aveca∈Setb∈E

b=a0+u(c)aveca0∈Setc∈E

x=a+uk(a0) +uk+1(c)∈S+Imuk+1

cara+uk(a0)∈SpuisqueSest un sous-espace vectoriel stable paru.
AinsiE⊂S+Imuk+1puis l’égalité.
Récurrence établie.
En appliquant cette propriété à l’indice de nilpotence deu, on obtient

E=S

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