Sujet : Algèbre, Espaces vectoriels, Sous-espaces vectoriels supplémentaires

Description

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Sous-espaces vectoriels supplémentaires Exercice 1 [ 01698 ] [correction] 1 0 2Soient F = f∈C (R,R)|f(0) =f (0) = 0 et G = x7→ax+b| (a,b)∈R . 1Montrer que F et G sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires deC (R,R).

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

• Publié par: algebre-mpsi
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• Langue: Français

Extrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés
Sous-espaces vectoriels supplémentaires
Exercice 1[ 01698 ][correction]
SoientF=f∈ C1(RR)|f(0) =f0(0) = 0etG=x7→ax+b|(a b)∈R2.
Montrer queFetGsont des sous-espaces vectoriels supplémentaires deC1(RR).
Exercice 3[ 01700 ][correction]
SoientH={(x1 x2     xn)∈Kn|x1+x2+∙ ∙ ∙+xn= 0}et
u~= (1    1)∈Kn
.
Montrer queHet Vect(~u)sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires deKn.

Exercice 2[ 01699 ][correction]
SoientF=nf∈ C([−11]C)|R−11f(t)dt= 0oet
G={f∈ C([−11]C)|fconstante}.
Montrer queFetGsont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de
C([−11]C).

Exercice 4[ 01701 ][correction]
SoientE=C([0 π]R),F={f∈E|f(0) =f(π2) =f(π)}et
G=Vect(sincos).
Montrer queFetGsont des sous-espaces vectoriels supplémentaires deE.

Exercice 5[ 01702 ][correction]
SoitF={f∈ F(RR)f(0) +f(1) = 0}.
a) Montrer queFest un sous-espace vectoriel.
b) Déterminer un supplémentaire deFdansF(RR).

1

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
F⊂ C1(RR),o˜∈Fet∀λ µ∈R,∀f g∈F,(λf+µg)(0) =λf(0) +µg(0) = 0et
(λf+µg)0(0) =λf0(0) +µg0(0) = 0doncλf+µg∈F.
G⊂ C1(RR),o˜∈G(en prenanta=b= 0),∀λ µ∈R,∀f g∈G, il existe
a b c d∈Rtel que∀x∈R,f(x) =ax+betg(x) =cx+det on a alors
(λf+µg)(x) =ex+favece=λa+µc∈Retf=λb+µd∈Rdoncλf+µg∈G.
Soith∈F∩G. Il existea b∈Rtels que∀x∈R,h(x) =ax+bcarh∈G.
Orh∈Fdonch(0) =b= 0eth0(0) =a= 0puish(x) = 0i.e.h=o˜. Ainsi
F∩G=0˜.
Soith∈ C1(RR). Posonsa=h0(0)∈R,b=h(0),g:x7→ax+betf=h−g.
Clairementg∈Geth=f+g. De plusf(0) =h(0)−b= 0et
f0(0) =h0(0)−a= 0doncf∈F.
AinsiF+G=C1(RR).
Finalement,FetGsont supplémentaires dansC1(RR).

Exercice 2 :[énoncé]
0˜∈FcarR−110dt= 0et∀λ µ∈C,∀f g∈F, on a
F⊂ C([−11]C),
R−11(λf+µg)(t)dt=λR−11f(t)dt+µR−11g(t)dt= 0doncλf+µg∈F.
˜
G⊂ C([−11]R),0∈Gcar c’est une fonction constante et∀f g∈G,∀λ µ∈C,
on aλf+µg∈Gil est clair que c’est une fonction constante.car
Soith∈F∩G. On ahconstante carh∈G. PosonsCla valeur de cette constante.
Puisqueh∈F, on aR−11h(t)dtR−1Cdt= 2C= 0et d
1˜
=onch= 0. Ainsi
F∩G=0˜.
Soith∈ C([−11]C). PosonsC=R−11h(t)dt,gla fonction constante égale à12C
etf=h−g.
Clairementg∈Getf+g=h. De plusR−11f(t)dt=R−11h(t)dt−C= 0donc
f∈F.
AinsiF+G=C([−11]C). FinalementFetGsont supplémentaires dans
C([−11]C).

Exercice 3 :[énoncé]
H⊂Kn,~o= (0    0)∈Hcar0 +∙ ∙ ∙+ 0 = 0et∀λ µ∈K,
∀x~= (x1     xn)∈H,∀y~= (y1     yn)∈H, on a
λ~x+~yµ= (λx1+µy1     λxn+µyn)avec
(λx1+µy1) +∙ ∙ ∙+ (λxn+µyn) =λ(x1+∙ ∙ ∙+xn) +µ(y1+∙ ∙ ∙+yn) = 0donc
λ~x+µy∈H.
~

2

Vect(u~) =K~uest un sous-espace vectoriel.
Soitv~∈H∩Vect(~u). On peut écrire~v=~λu= (λ     λ)car~v∈Vect(u~).
Orv~∈Hdoncλ+∙ ∙ ∙+λ= 0d’oùλ= 0et donc~v=~o. AinsiH∩Vect(u~) ={o~}.
Soit~v= (v1     vn)∈Kn. Posonsλ=1n(v1+∙ ∙ ∙+vn),~y=u~λet~x=v~−y~.
Clairement~x+y~=~v,~y∈Vect(~u). De plusx~= (x1     xn)avec
x1+∙ ∙ ∙+xn= (v1−λ) +∙ ∙ ∙+ (vn−λ) = (v1+∙ ∙ ∙+vn)−nλ= 0doncx~∈H.
AinsiH+Vect(~u) =Kn.
FinalementHet Vect(u~)sont supplémentaires dansKn.

Exercice 4 :[énoncé]
FetGsont clairement des sous-espaces vectoriels deE.
Soitf∈F∩G. On peut écriref=λsin +µcos.
De plusf(0) =f(π2) =f(π)donne :µ=λ=−µd’oùλ=µ= 0puisf= 0.
Soitf∈E. Posonsλ=2f(π2)−2f(0)−f(π),µ=f0()2−f(π),h=λsin +µcoset
g=f−h.
On af=g+havecg∈Feth∈G.
AinsiFetGsont supplémentaires dansE.

Exercice 5 :[énoncé]
a) sans peine
b) L’ensemble des fonctions constantes convient.

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