Sujet : Algèbre, Espaces vectoriels, Structure d'espace vectoriel

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

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• Langue: Français

Extrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Structure

d’espace

vectoriel

Enoncés

Exercice 1[ 01680 ][correction]
SoitEunR-espace vectoriel.
On munit le produit cartésienE×Ede l’addition usuelle :
~ ~ ~ ~
(~~yx) + (x0 y0) = (~x+x0~y+y0)et de la multiplication externe par les complexes
définie par :(a+ib)(~x~y) = (a~x−b~ya~y+~xb).
Montrer queE×Eest alors unC-espace vectoriel.
Celui-ci est appelé complexifié deE.

1

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
Il est aisé de constater que l’addition surE×Eest commutative, associative,
possède un neutre(~~oo)et que tout élément est symétrisable dans(E×E+), le
symétrique de(y~x~)étant(−~x−~y).
Ainsi(E×E+)est un groupe abélien.
∀λ µ∈C∀~v~u∈E×E, on peut écrireλ=a+ib,µ=a0+ib0avec
~ ~ ~ ~
a b a0 b0∈Ret~u= (~x~y),~v= (x0 y0)avecx~xy~0 y0∈E.
~ ~ ~ ~
λ(~u+v~) = (a+ib)(~x+x0y~+y0) = (~xa+~xa0−b~y−by0ay~+ay~0+~bx+bx0) =~uλ+λ~v,
(λ+µ)u~= ((a+a0) +i(b+b0))(~y~x) =
(a~x+a0~x−yb~−b0ay~y~+a0y~+xb~+b0~x) =λ~u+µ ~
u,
λ(µ~u) = (a+ib)(a0~x−b0ya~0y~+b0x~) =
((aa0−bb0)x~−(ab0+a0b)~y(aa0−bb0)~y+ (ab0+a0b)x~) = (λµ)~uet1~u=~udonc
(E×E+ )est unC-espace vectoriel.

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