Sujet : Algèbre générale, Algèbre de Boole

David Delaunay Http://Mpsiddl.Free.Fr

Description

Opération sur les ensembles. Relation d'équivalence (hors-programme).

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

• Publié par: algebre-mpsi
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• Langue: Français

Extrait

Algèbre de Boole

Dans l’intégralité de ce problème,désigne un ensemble.
On appelle algèbre de Boole sur l’ensemble, toute partiede℘() telle que :

(1)∅ ∈,
(2)∀∈,∈(oùdésigne le complémentaire dedans) et
(3)∀,∈,∪∈.
1. Propriétés élémentaires :
Dans cette questiondésigne une algèbre de Boole sur.
1.a Montrer que∈.
1.b Etablir :∀,∈,∩∈et\∈.
2. Quelques exemples :
2.a Donner un exemple simple d’algèbre de Boole sur.
2.b Soit (1,2,…, partition de) une.
 
On considère=∪⊂ {1, 2,…,}.
∈
Montrer queest une algèbre de Boole.
2.c Iciℝ.
=
On considèrel’ensemble formé par les réunions d’un nombre fini d’intervalles deℝ.
Montrer queest une algèbre de Boole surℝ.
On rappelle au passage que l’ensemble vide est considéré être un intervalle deℝ.
3. Endomorphisme d’algèbre de Boole
Soitune algèbre de Boole sur.
On appelle endomorphisme detoute application:→telle que :
(1)∀∈,()=() et
(2)∀,∈,(∪)=()∪() .

3.a

3.b

3.c

3.d

4.

4.a

4.b

4.c
4.c.i
4.c.ii

Justifier que()=et(∅)= ∅.

Montrer que∀,∈,(∩)=()∩() et(\)=() \() .

Etablir aussi∀,∈,⊂⇒()⊂() .

On note= {∈()= ∅}appelé noyau de.
Montrer queest injective si et seulement si= {∅}.
Description des algèbres de Boole finies.
Soitune algèbre de Boole sur.
On définit une relation binaire notéesurpar :⇔ ∀∈,∈⇔∈.
Montrer queest une relation d’équivalence sur.
Pour∈, nous noterons( classe d’équivalence de) lamodulo la relation, celle-ci est
appelée atome de l’algèbre de Booleengendré par l’élément.
Soit∈. On note= {∈∈}. Etablir que()=∩.
∈
On suppose queest constitué d’un nombre fini d’éléments.
Montrer quecontient chacun de ses atomes.
Montrer que chaque élément depeut s’écrire comme une réunion finie d’atomes.
Par suitese perçoit comme étant du type vu en 2.b.