Sujet : Algèbre linéaire, Etude linéaire des solutions d'une équation différentielle

David Delaunay Http://Mpsiddl.Free.Fr

Description

Espaces vectoriels de dimension finie. Equations différentielles linaires

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

• Publié par: algebre-mpsi
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• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

Etude linéairedessolutions d’uneéquationdifférentielle

L’objectif de ce problème est de résoudre l’équation différentielle :
( 4)+2( 2)+=0
désigne l’espace vectoriel des fonctions de classe∞surℝet à valeurs dansℝ.
Questions préliminaires :
a. Soitl’application, définie sur, qui à une fonctionassocie sa dérivée′.
Montrer queest un endomorphisme de. Est-ce un automorphisme ?
b. Soitune solution surℝde l’équation( 4)+2( 2)+=0 .
Montrer queest de classe∞surℝ.

On considère le sous-ensembledeconstitué des fonctions de la forme :
֏(+) sin+(+) cosavec,,,réels quelconques.

1.

2.
2.a

2.b
3.

3.a

3.b

3.c
4.

4.a
4.b
4.c

5.a

5.b

5.c

Montrer queest un sous-espace vectoriel dede base=(1,2,3,4) où1:֏sin,
2:֏sin,3:֏coset4:֏cos.
désigne la restriction deau départ de.
Montrer queest un endomorphisme deet calculer les images pardes fonctions constituant la
base.
Déterminer ker. En déduire queest une bijection devers.
Iddésigne l’application identité de.
Déterminer une base et la dimension du noyau et de l’image de2+Id.
En déduire que4+22+Idest l’application nulle de.
Retrouver ainsi queest bijective et calculer−1en fonction de.
On notele sous-espace vectoriel de( par Id) engendréet2.
Justifier que la famille (Id,2) est une base de.
Vérifier queest stable pour le produit de composition des applications.
Soitl’application qui àϕ=αId+β2∈associe(ϕ)=α−β.
Montrer queest une forme linéaire suret que pour toutϕ,ψ∈,(ϕψ)=(ϕ)(ψ) .
Résoudre surℝl’équation différentielle :+′′=0 .
Déterminer le noyau de2+Id.
Montrer que le noyau de (2+Id)2estpuis queest exactement l’espace des solutions de
l’équation différentielle( 4)+2( 2)+=0 .