Sujet : Algèbre, Réduction des endomorphismes, Etude pratique des éléments propres d'un endomorphisme

Description

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Etude pratique des éléments propres d’un Exercice 6 [ 00771 ] [correction] Soit E le sous-espace vectoriel des fonctions deC([0, +∞[R) s’annulant en 0.endomorphisme Pour tout f∈E, on définit ϕ(f) : [0, +∞[→R par Z x Exercice 1 [ 00767 ] [correction] 1 ϕ(f)(0) = 0 et ϕ(f)(x) = f(t) dt pour x> 0 On considère les matrices réelles x 0 1 0 a b a) Montrer que ϕ(f)∈E puis que ϕ est un endomorphisme de E.A = et M = 0 2 c d b) Déterminer les éléments propres de ϕ. a) Calculer AM−MA. b) Déterminer les éléments propres de l’endomorphisme M7→AM−MA. Exercice 7 [ 03435 ] [correction] Soit E l’espace vectoriel des fonctions continues de [0, +∞[ versR. Pour tout f∈E, on définit T (f) : ]0, +∞[→R par Exercice 2 [ 00768 ] [correction] ∞ 0 Z xSoient E =C (R,R) et D l’endomorphisme de E qui à f associe sa dérivée f . 1 T (f)(x) = f(t) dt pour x> 0Déterminer les valeurs propres de D ainsi que les sous-espaces propres associés. x 0 a) Montrer que la fonction T (f) se prolonge par continuité en 0 et qu’alors T un Exercice 3 [ 00769 ] [correction] endomorphisme de E. 0Soient E =C (R,R) et I l’endomorphisme de E qui à f∈E associe sa primitive b) Déterminer les éléments propres de T. qui s’annule en 0. Déterminer les valeurs propres de I. Exercice 8 Mines-Ponts MP [ 02700 ] [correction] Soit E =C([0, 1],R).

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Spécialité

Informations

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• Langue: Français

Extrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Etude pratique
endomorphisme

des

éléments

propres

Exercice 1[ 00767 ][correction]
On considère les matrices réelles
A=1200 c d
etM=a b

Enoncés

d’un

a) CalculerAM−M A.
b) Déterminer les éléments propres de l’endomorphismeM7→AM−M A.

Exercice 2[ 00768 ][correction]
SoientE=C∞(RR)etDl’endomorphisme deEqui àfassocie sa dérivéef0.
Déterminer les valeurs propres deDainsi que les sous-espaces propres associés.

Exercice 3[ 00769 ][correction]
SoientE=C0(RR)etIl’endomorphisme deEqui àf∈Eassocie sa primitive
qui s’annule en 0.
Déterminer les valeurs propres deI.

Exercice 4[ 00770 ][correction]
SoientEsuites réelles convergeant vers 0 etl’espace des Δ :E→E
l’endomorphisme défini par

Δ(u)(n) =u(n+ 1)−u(n)

Déterminer les valeurs propres deΔ.

Exercice 5[ 03126 ][correction]
SoientE=CNetf:E→El’application qui transforme une suiteu= (un)en
v= (vn)définie par

n+un−1
v0=u0et∀n∈N? vn=u
2

Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres def.

Exercice 6[ 00771 ][correction]
SoitEle sous-espace vectoriel des fonctions deC([0+∞[R)s’annulant en 0.
Pour toutf∈E, on définitϕ(f) : [0+∞[→Rpar
ϕ(f)(0) = 0etϕ(f)(x 1) =xZ0xf(t) dtpourx >0

a) Montrer queϕ(f)∈Epuis queϕest un endomorphisme deE.
b) Déterminer les éléments propres deϕ.

Exercice 7[ 03435 ][correction]
SoitEl’espace vectoriel des fonctions continues de[0+∞[versR.
Pour toutf∈E, on définitT(f) : ]0+∞[→Rpar
x
T(f)(x) =x1Zf(t) dtpourx >0
0

a) Montrer que la fonctionT(f)se prolonge par continuité en 0 et qu’alorsT
endomorphisme deE.
b) Déterminer les éléments propres deT.

Exercice 8Mines-Ponts MP[ 02700 ][correction]
SoitE=C([01]R). Sif∈E, soit
T(f) :x∈[01]7→Z10min(x t)f(t) dt

a) Vérifier queTest dansL(E).
b) Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres deT.

un

Exercice 9Mines-Ponts MP[ 03063 ][correction]
SoitEl’espace des fonctionsfde classeC1de[0+∞[versRvérifiantf(0) = 0.
Pour un élémentfdeEon poseT(f)la fonction définie par
T(f)(x) =Zxf(td)t
0t

Montrer queTest un endomorphisme deEet trouver ses valeurs propres.

1

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Enoncés

Exercice 10[ 03125 ][correction]
Déterminer valeurs propres et vecteurs propres de l’endomorphismeϕdeRn[X]
défini par
ϕ:P7→(X2−1)P0−nXP

Exercice 11Centrale MP[ 03103 ][correction]
On considèren+ 1réels deux à deux distinctsa0     anetAle polynôme
n
A(X) =Y(X−ak)
k=0

SoitBun polynôme réel tel que pour toutk= 0     n,B(ak)6= 0. On considère
l’applicationfqui à un polynômePdeRn[X]associe le resteR=f(P)de la
division euclidienne deBPparA.
a) Justifier qu’on définit ainsi un endomorphisme deRn[X].
b) Etude d’un exemple avec le logiciel de calcul formel : on demande de résoudre
cette question avec le logiciel.
On choisit

n= 2,A(X) = (X−1)(X−2)(X−3)etB(X) =X3

Ainsifest ici l’endomorphisme deR2[X]qui àP∈Eassocie le reste de la
division euclidienne deX3Ppar(X−1)(X−2)(X−3).
Créer l’applicationf rem »qui fournit le reste de la. Utiliser la commande «
division euclidienne. Expliciter alors l’image deP=aX2+bX+c.
Déterminer le noyau def.
Suivre le mme procédé pour déterminer les éléments propres def, en annulant
les coefficients deQ=f(P)−λP.
Créer la matrice defdans la base canonique deEet retrouver ainsi les valeurs
propres et les vecteurs propres def.
c) On revient au cas général. Déterminer le noyau, les éléments propres (valeurs
propres, sous-espaces propres) et le déterminant def. L’endomorphismefest-il
diagonalisable ?
Enoncé fourni par le concours CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA

Exercice 12CCP MP[ 02511 ][correction]
Soita∈Retn>2.
a) Montrer queφ(P)(X) = (X−a) (P0(X)−P0(a))−2(P(X)−P(a))définit un
endomorphisme deRn[X].
b) A l’aide de la formule de Taylor, déterminer l’image et le noyau deφ.
c) Trouver ses éléments propres. L’endomorphisme est-il diagonalisable ?

2

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a)

AM−M A=2ac2db−ac22bd=c0

−0b

b)0est valeur propre avecE0=Vect(E11 E22),1est valeur propre avec
E1=Vect(E21)et−1est valeur propre avecE−1=Vect(E12).

Corrections

Exercice 2 :[énoncé]
Soientλ∈Retf∈E.D(f) =λf⇔fest solution de l’équation différentielle
y0=λyi.e.fde la formex7→Ceλx. Ainsi Sp(D) =RetEλ(D) =Vect(x7→eλx).

Exercice 3 :[énoncé]
Soientλ∈Retf∈E. SiI(f) =λfalorsI(f)est solution de l’équation
différentielley=λy0. Siλ= 0alorsI(f) = 0et siλ6= 0alorsI(f)est de la forme
x7→Cexλet puisqueI(f)s’annule en 0 doncI(f) = 0. Dans les deux cas
f=I(f)0= 0. Ainsi Sp(I) =∅.

Exercice 4 :[énoncé]
Soientλ∈Retu∈E.

Δ(u) =λu⇔ ∀n∈N u(n+ 1) = (1 +λ)u(n)

Ainsi
Δ(u) =λu⇔ ∀n∈N u(n) =u0(1 +λ)n
Pourλ∈]−20[, la suiteu(n) = (1 +λ)nest élément non nul deEet vérifie
Δ(u) =λu.
Pourλ ∈]−20[, seule la suite nulle est converge vers 0 et satisfait

On peut donc conclure

∀n∈N u(n) =u0(1 +λ)n

Sp(Δ) = ]−20[

Exercice 5 :[énoncé]
Soientλ∈Cetu∈E. Etudions l’équationf(u) =λu. On a
f(u) =λu⇔((∀1n−∈λN)?u0=2(λ0−1)un=un−1

3

Casλ= 1
f(u) =u⇔ ∀n∈N? un=un−1
On en déduit que 1 est valeur propre defet que le sous-espace propre associé est
formé des suites constantes.
Casλ6= 1
f(u) =λu⇔(∀u0n=∈0N?(2λ−1)un=un−1

Queλ= 12ou non, on obtient

f(u) =λu⇔ ∀n∈N un= 0

et doncλn’est pas valeur propre.
Finalement

Spf={1}

Exercice 6 :[énoncé]
?
a)ϕ(f)est dérivable surR+?donc continue surR+.
Puisquefest continue,fadmet une primitiveFet alors quandx→0+

ϕ(f)(x)F(x)−Fx(0)→F0(0) =f(0) = 0
=

On en déduit queϕ(f)est continue en 0.
La linéarité deϕest immédiate et doncϕest un endomorphisme deE.
b) Soientλ∈Retfune fonction deEnon nulle vérifiantϕ(f) =λf.
Pour toutx∈R+
,
Zxf(t) dt=λxf(x)
0
doncfest de classeC1et vérifie

(1−λ)f(x) =λxf0(x)

Le casλ= 0impliquef= 0et est donc exclu.
Pourλ6= 0etx >0on a
xf0(x) =αf(x)

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avecα= (1−λ)λdont la résolution conduit à

f(x) =Cxα x∈]0+∞[

Corrections

Pourα= 0ouα <0la conditionli0mf= 0entraînef= 0et est donc exclue.
Par contre le casα >0(correspondant àλ∈]01[) conduit au vecteur propre

élément deE.

f(x) =Cxα x∈[0+∞[

Exercice 7 :[énoncé]
a)T(f)est dérivable surR+?donc continue surR+?.
Puisquefest continue,fadmet une primitiveFet alors quandx→0+

T(f)(x) =F(x)x−F(0)→F0(0) =f(0)

On en déduit queT(f)se prolonge en une fonction continue en 0.
La linéarité deTest immédiate et doncTest un endomorphisme deE.