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Algorithme de Babylone

L’objectif de ce problème est de présenter deux suites de nombres rationnels convergeant vers
comparer leur vitesse de convergence.
Les parties I et II sont totalement indépendantes, la partie III les exploitent toutes les deux.

Partie I Première suite

2 puis de

On considère les suites réelles (pn) et (qn) définies parqp00==t 11 e∀n∈ℕ,qpnn++11==ppnn++q2nqn.
1.a Montrer que pour toutn∈ℕ, les nombrespnetqnsont entiers strictement positifs.
1.b Justifier que∀n∈ℕ,pn≥qn.
2. On définit une suite réelle (un posant pour tout) enn∈ℕ:un=pn.
qn
2.a Exprimerun+1en fonction deun.
que−2≤2−1−.
2.b Justifierun+12un2
2.c En déduire la limite de la suite (un) .
3.a Déterminera,b∈ℝtels que∀n∈ℕ,pn+2=apn+1+bp.
3.b En déduire l’expression du terme général de la suite (pn) .
3.c De même exprimer le terme général de la suite (qn) .
3.d Retrouver le résultat de la question I.2.c

Partie II Deuxième suite

la suite réelle (vn) définie par=1 et 12
On considère∀ℕ.
v0 n∈,vn+1=2vn+vn
1. Montrer que pour toutn∈ℕ,vnest bien défini et est un nombre rationnel de l’intervalle 1, 2 .
2
v−2

2.

3.

1.

2.

2.a
2.b

Observer que pour toutn∈ℕ:vn+1−2=n2vn.
En déduire quevn→2 .

Partie III Comparaison des vitesses de convergence

3
2 à la précision 10−.

Donner les valeurs décimales approchées deu3,v3et
On posevn−2
.
tn=
un−2
Exprimertn+1en fonction detn,unetvn.
En déduire la limite de la suite (tn) .
Quelle est celle des deux suites (un) et (vn) qui converge le plus rapidement vers

2 ?