La lecture à portée de main
Découvre YouScribe en t'inscrivant gratuitement
Je m'inscrisDécouvre YouScribe en t'inscrivant gratuitement
Je m'inscrisDescription
Sujets
Informations
Publié par | analyse-mpsi |
Nombre de lectures | 73 |
Licence : |
En savoir + Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
|
Langue | Français |
Extrait
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013
Formes différentielles
Exercice 1[ 00258 ][correction]
a) Montrer que la forme différentielleω= (x+y) dx+ (x−y) dyest exacte et
déterminer une primitive deω.
b) Résoudre alors l’équation différentielle
x+y+ (x−y)y0= 0
dont l’inconnue est la fonctionyde la variable réellex.
Exercice 2CCP MP[ 03368 ][correction]
a) Montrer que la forme différentielle
ω(x y) = (xy−y2+ 1)dx+ (x2−xy−1)dy
n’est pas fermée.
b) Déterminer les fonctionsf:R→Rdérivable telle que la forme différentielle
ω(x y)f(xy)
soit exacte et déterminer ses primitives.
Exercice 3CCP MP[ 03367 ][correction]
a) Montrer que la forme différentielle
ω(x y) = (xy−y2+ 1)dx+ (x2−xy−1)dy
n’est pas fermée.
b) Déterminer les fonctionsf:R→Rdérivable telle que la forme différentielle
ω(x y)f(xy)
soit exacte et déterminer ses primitives.
Exercice 4CCP MP[ 02566 ][correction]
La forme différentielleω(x y) =x2dy+y2dxest-elle fermée Exacte ? ?
Donner l’ensemble des cercles (parcourus une fois dans le sens direct) le long
desquelsωest nulle ?
Enoncés
1
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013
Corrections
Exercice 1 :[énoncé]
a) Après étude du système différentiel
x∂f∂(x y) =x+y
∂y(x y) =x−y
∂f
Corrections
on vérifie aisément que
f(x y)=21x2+xy−21y2
est une primitive de la forme différentielleω.
b) Soityune solution surIde l’équation différentielle étudiée.
Pour toutx∈I, on a
d(f( y(x)) = 0
dx x
doncx7→f(x y(x))est une fonction constante. En posantλla valeur de cette
constante, on obtient
∀x∈I y2−2xy−x2+ 2λ= 0
puis
∀x∈I x2−λ>0ety(x) =x+ε(x)p2x2−2λavecε(x) =±1
Pourλ <0, la quantitéx2−λest strictement positive surR. Puisque la fonction
ε:x7→ε(x) =√y(2xx2)−−2λx
est continue et ne prend que les valeurs 1 ou−1, elle est constante et donc
∀x∈I y(x) =x+p2x2−2λou∀x∈I y(x) =x−p2x2−2λ
Pourλ >0, quand la quantitéx2−λs’annule, elle change de signe et ce ne peut
donc qu’tre en une extrémité de l’intervalleI. Par un argument de continuité
semblable au précédent, on obtient encore
∀x∈I y(x) =x+p2x22λou∀x∈I y(x) =x−p2x2−2λ
−
et puisque la fonctionyest dérivable surI, on a nécessairementx2−λ >0surI.
Pourλ= 0.
SiI⊂R+ouI⊂R−alors comme pour ce qui précède on obtient
∀x∈I y(x) = (1 +√2)xou∀x∈I y(x) = (1√−2)x
2
Sinon, par dérivabilité d’un raccord en 0 d’une solution surI∩R+et surI∩R−,
on obtient encore
∀x∈I y(x) = (1 +√2)xou∀x∈I y(x) = (1−√2)x
Inversement, les fonctions proposées sont bien solutions en vertu des calculs qui
précèdent.
Pour résumer, les solutions maximales de l’équation différentielle étudiée sont
-x→(1 +√2)xetx7→(1√−2)xsurR;
-x7→x+√2x2+ 2λetx7→x+√2x2−2λsurRpourλ <0;
-x7→x+√2x2+ 2λetx7→x+√2x2−2λsuri−∞−√λheti√λ+∞hpour
λ >0.
Exercice 2 :[énoncé]
a) Posons
P(x y) =xy−y2+ 1etQ(x y) =x2−xy−1
Puisque
∂Q6=∂∂Py
∂x
la forme différentielleωn’est pas fermée.
b) La forme différentielle
θ(x y) =ω(x y)f(xy)
est de classeC1sur l’ouvert étoiléR2, elle est donc exacte si, et seulement si, elle
est fermée. Cela équivaut à la satisfaction pour tout(x y)∈R2de l’équation
(2x−y)f(xy) +y(x2−xy−1)f0(xy) = (2y−x)f(xy) +x(xy−y2+ 1)f0(xy)
Après simplification, on obtient
(x+y) (f(xy)−f0(xy)) = 0
Par suitefest solution du problème posé si, et seulement si,fest solution de
l’équation différentielle
y0(t) =y(t)
Après résolution de cette équation différentielle linéaire d’ordre 1, on obtient la
solution générale
f(t) =λetavecλ∈R
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013
On obtient alors une primitiveUde la fonction forme différentielle étudiée en
résolvant le système
∂U∂x(x y) =λexy(xy−y2+ 1)
y∂U∂(x y) =λexy(x2−xy−1)
Au terme des calculs, on obtient
U(x y) =λ(x−y)exy+C
Exercice 3 :[énoncé]
a) Posons
P(x y) =xy−y2+ 1etQ(x y) =x2−xy−1
Corrections
Puisque
∂P
∂∂xQ6∂y
=
la forme différentielleωn’est pas fermée.
b) La forme différentielle
θ(x y) =ω(x y)f(xy)
est de classeC1sur l’ouvert étoiléR2, elle est donc exacte si, et seulement si, elle
est fermée. Cela équivaut à la satisfaction pour tout(x y)∈R2de l’équation
(2x−y)f(xy) +y(x2−xy−1)f0(xy) = (2y−x)f(xy) +x(xy−y2+ 1)f0(xy)
Après simplification, on obtient
(x+y) (f(xy)−f0(xy)) = 0
Par suitefest solution du problème posé si, et seulement si,fest solution de
l’équation différentielle
y0(t) =y(t)
Après résolution de cette équation différentielle linéaire d’ordre 1, on obtient la
solution générale
f(t) =λetavecλ∈R
On obtient alors une primitiveUde la fonction forme différentielle étudiée en
résolvant le système
∂U(x) =λexy(xy−y2+ 1)
∂x y
U∂y∂(x y) =λexy(x2−xy−1)
Au terme des calculs, on obtient
U(x y) =λ(x−y)exy+C
Exercice 4 :[énoncé]
ωn’est pas fermée et a fortiori ni exacte.
Considérons le cercleΓobtenu par le paramétrage
(x=a+Rcost
ave
y=b+Rsintct∈[02π]
3
On a
ZΓω=Z02π(a+Rcost)2Rcost−(b+Rsint)2Rsintdt=Z02π2aR2cos2t+ 2bR2sin2tdt
car
Z02πcostdt=Z20πcos3tdt= 0
Ainsi
ZΓω= 2π(a+b)R2
Les cercles recherchés sont ceux centrés sur la droite d’équationx+y= 0.
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD