La lecture en ligne est gratuite
Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe
Tout savoir sur nos offres

Partagez cette publication

1.

1.a

1.b

1.c

1.d

2.

2.a

2.b

2.c

3.

3.a

3.b
3.c

3.d

4.

4.a

4.b

4.c


4.d

4.e

Etude d’une suite de racines d’équations algébriques

2+, montrer que l’équation

Pour∈ℕ∗, on considère l’équation+−1+⋯+2+=1 ..
En étudiant la fonctionϕ:ℝ+→ℝdéfinie parϕ()=+−1+⋯+
possède une unique solution positive.
Justifier que∈0,1 et qu’on a la relation(1−)=1−.
Etablir que la suite ( décroissante puis convergente.) est
Etablir que→0 et en déduire la limite de () .
On écrit=12(1+ε)avecε→0 .
En observant que (1+ε)+1=2+1ε,
établir la relation (+1)εln(1+ε)=(+1)εln 2+εlnε.
Déterminer alors la limite de (+1)εpuis celle de (1+ε)+1.
En déduire un équivalent simple de (ε) .
Dans cette question, on suppose=2 .
Par commodité on noteα=2au lieu de∀∈ℕ,∈1 2,1 .
On considère la fonction réelledéfinie pour≥0 par()=1+.
1
Simplifier(α) .
Montrer que si∈1 2,1 alors()∈1 2,1 .
On considère la suite récurrente réelle ( par :) définie
0=1 et∀∈ℕ,+1=() .
Justifier∀∈ℕ,+1−α≤23−α.
En déduire :−α≤23,
et déterminer la limite de la suite () .
Dans cette question, on suppose: 1 2,1→ et1 2,1=1 .
Par commodité, on poseβ=3.
On introduit la fonction réelledéfinie par()=2+1+1et o nsidn cos al erècér etiue ntreur leelré
 
( par :) définie0=1 et∀∈ℕ,+1=() .
Dresser le tableau de variation desurℝ+.
En déduire que∀∈ℕ,∈0,1 .
Justifier que (2 ( décroissante, que) est2+1) est croissante puis que ces deux suites sont convergentes.
On poseℓ=lim2et0∈1 2,1 .
Etablir(ℓ)=ℓ′et(ℓ′)=ℓ.
En déduire queℓest solution de l’équation : (ℓ2+1)(ℓ3+ℓ2+ℓ−1)=0 .
Conclure queℓ=β,ℓ=′βpuis déterminer la nature () .