Sujet : Analyse, Fonctions harmoniques

David Delaunay Http://Mpsiddl.Free.Fr

Description

Fonctions de deux variables réelles. Intégrale double.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

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• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

Fonctions harmoniques

Soitun ouvert non vide deℝ2.
On note2(,ℝ des fonctions réelles de classe) l’ensemble2définies sur.
Une fonction:→ℝest dite harmonique ssi celle-ci est de classe2et solution surde l’équation aux
2 2
dérivées partielles :∂∂2∂+∂2=0 . On note() l’ensemble de ces fonctions.

1.

2.
2.a

2.b
3.

3.a

3.b

4.
4.a

4.b

Partie I-Généralités

Montrer que() est un sous-espace vectoriel de2(,ℝ) .
Premiers exemples
Déterminer une condition nécessaire et suffisante portant sur,,∈ℝpour que l’application
:ℝ2→ℝdéfinie par(,)=2++2soit harmonique surℝ2.
Montrer que: (,)֏arctan(/est harmonique sur=ℝ+∗×ℝ.
Soit→
.
Montrer que siest harmonique et de classe3alors∂∂et∂∂sont, elles aussi, harmoniques.

En déduire que siest harmonique de classe+2(avec∈ℕ), alors ses dérivées partielles jusqu’à
l’ordresont harmoniques.
Soit:ℝ2→ℝde classe2et:ℝ2→ℝdéfinie par(,θ)=(cosθ,sinθ) .
Montrerest une fonction de classe2

∀ ∈∂2∂2=∂
Etablir que siest harmonique alors (,θ)2,2∂2(,θ)∂+θ2(,θ)+∂(,θ) 0

Partie II Exemples de fonctions harmoniques surℝ2

Les questions 1,2 et 3 sont indépendantes.
1.Fonctions harmoniques à variables séparables
Une fonction:ℝ2→ℝde classe2dite à variables séparables ssi il existe deux fonctionsest
ϕ:ℝ→ℝetψ:ℝ→ℝde classe2telles que :
∀(,)∈ℝ2,(,)=ϕ()ψ() .

1.a

1.b

1.c

2.

2.a

2.b

On considèrefonction harmonique non nulle de la forme ci-dessus.une
Montrer qu’il existe∈telle queϕetψsoit respectivement solutions des équations différentielles :
:′′()+.()=0 et−:′′()−.()=0 .
Résoudre, selon le signe de∈ℝ, l’équation.
On exige de plus que(0, 0)=1 et∂∂(0, 0)=∂∂(0, 0)=0 .
 
Donner, en fonction, l’expression de(,) .
Fonctions harmoniques radiales
Une fonction:ℝ2→ℝde classe2est dite radiale ssi il existe:ℝ+→ℝde classe2telle que :
∀,∈ℝ2,(,)=(2+2) .
On considèreune fonction harmonique de la forme ci-dessus.
Montrer queest solution surℝ+de l’équation différentielle′′()+′()=0 .
Résoudre cette équation différentielle surℝ+∗.

2.c
3.

3.a

3.b

3.c

3.d

3.e
3.f

Quelles sont les fonctions harmoniques surℝ2radiales ?
Fonctions harmoniques à variables polaires séparables
Une fonction:ℝ2→ℝde classe2est dite à variables polaires séparables ssi il existe deux fonctions
:ℝ+→ℝet:ℝ→ℝde classe2telle que :
∀(,θ)∈ℝ+×ℝ,(cosθ,sinθ)=()(θ) .
On considèreune fonction non nulle de la forme ci-dessus.
Montrer que l’applicationest 2πpériodique.
On suppose de plus queest harmonique.
En exploitant I.4.b, établir l’existence d’une constante∈ℝtelle que :
est solution surℝ+∗de l’équation différentielle:2′′()+′()−()=0
etsolution surℝde l’équation différentielle :θ:′′(θ)+(θ)=0 .
On suppose dans cette question que=0
.
Résoudreθsurℝ 2. Quelles sont les solutionsπpériodiques ?
Résoudresurℝ+∗. Quelles sont les solutions se prolongeant pas continuité en 0 ?
On suppose désormais≠0 .
Etablir une condition nécessaire et suffisante sur∈ℝ∗pour que l’équationθpossède une solution 2π

périodique non nulle.
On suppose désormais que cette condition est remplie et on pose=.
Résoudreθ.
Résoudresur+∗en réalisant le changement de variable=e.
Parmi les solutions, lesquelles peuvent être prolongées par continuité en 0 ?

Partie III Propriétés de la moyenne et principe du maximum

Soit:ℝ2→ℝune fonction harmonique.
1.a Justifier qu’il existe une fonctionℝ→ℝde classe2telle que :
∂ ∂
∂= − ∂et=.
∂∂∂∂
1.b Montrer queest harmonique.
2. Soit=(0,0)∈et>0 . On note(,) le disque de centreet de rayon.
On définit deux applicationsɶetɶdeℝ2versℝpar :
ɶ
∀∈ℝ,∀θ∈ℝ,(,θ)=(0+cosθ,0+sinθ) etɶ(,θ)=(0+cosθ,0+sinθ) .
2.a Justifier queɶetɶsont de classe1surℝ2.
ɶ
2.b Etablir que∂(, )∂ɶ(, )
∂θ=∂θθ (pour tout,θ)∈ℝ.
2πɶ
.
3. Pour tout∈ℝon poseϕ()=0(,θ)dθ
ɶ
On admet queϕest de classe1surℝet queϕ′()=20π∂∂(,θ)dθ.
3.a Montrer queϕest une fonction constante et préciser sa valeur.
3.b En déduire que()=π12∫(,)(,) dd.
Ainsi la valeur deenest égale à la moyenne desur tout disque de centre.
4. On suppose queadmet un extremum en.
Montrer queest alors constante surℝ2.
Ce résultat est connu sous le nom de principe du maximum.