Sujet : Analyse, Introduction à la notion de série numérique

David Delaunay Http://Mpsiddl.Free.Fr

Description

Suites numériques.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

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• Langue: Français

Extrait

Introduction à la notion de série numérique


Soit ()≥1une suite réelle, on note ()≥1la suite dont le terme général est donné par :=∑.
=1
On se propose ici d’étudier la nature de la suite ()≥1en fonction de la suite ()≥1.

1.

1.a

1.b

2.

2.a

2.b

3.

3.a

3.b

3.c

4.

4.a

4.b

Partie I Etude de quelques exemples

On se propose d’étudier dans un premier temps le cas où ()≥1est la suite géométrique de terme
général=avec∈ℝfixé.
Déterminer la nature de ()≥1dans le cas=1 .
On suppose≠.
1
Exprimer le terme général de ()≥1 (puis discuter la nature de)≥1en fonction de.
On s’intéresse ici à la suite ()≥1de terme général=1 .
Etablir que∀∈ℝ+, ln(1+)≤puis que∀∈ℕ∗, ln(+1)−ln()≤ .1


En déduire que pour tout∈ℕ∗,≥ln(+1) .
Que dire de ()≥1?
On s’intéresse maintenant à la suite ()≥1de terme général=12.
Etablir ue∀∈ℕ0,1 , 12≤1− .1
q \{ } −1
En déduire que la suite ()≥1est majorée.
Déterminer la nature de ()≥1.

rme général=(−1)
On s’intéresse désormais à la suite ()≥1de te
Montrer que les suites extraites (2−1)≥1et (2)≥1sont adjacentes.
Quelle est la nature de ()≥1?

Partie II Propriétés générales.

.


On revient au cadre général : ()≥1suite réelle quelconque et ()≥1définie par=∑.
=1

1. Montrer que si la suite ()≥1converge alors→0 .
Observer que la réciproque est fausse en vous appuyant sur l’un des exemples étudiés précédemment.
2. On suppose dans cette question que la suite ()≥1est formée de réels positifs.
Etudier la monotonie de ()≥1.
3. On suppose encore que ()≥1est une suite de réels positifs.
On considère de plus une suite ()≥1telle qu’à partir d’un certain rang0∈ℕ∗on ait≤et on

introduit ()≥1définie par=∑.
=1
3.a Former une inégalité permettant de compareretpour tout entier≥0.
3.b On suppose que ()≥1converge. Montrer que ()≥1converge aussi.

3.c

4.

4.a

4.b

4.c
5.

Application :
Montrer que si la suite (2)≥1 (converge alors)≥1converge.

On revient au cas général : ()≥1suite de réels de signes quelconques.

On suppose que=∑≥converge et on désire établir∑converge.
que ()≥1=
11=1≥1
Pour cela on définit deux nouvelles suites de réels positifs (+)≥1et (−)≥1par :
 
= −
+=max( et, 0)−max(, 0)
puis on introduit (+)≥1et (−)≥1définies par :
 
−
+=∑+et=∑−.
=1=1
en fonction de+et−.

Exprimeret

Justifier que (+)≥1et (−)≥1convergent.
Conclure.
Généraliser l’implication du 3.c aux suites réels de signes quelconques.