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Publié par | analyse-mpsi |
Nombre de lectures | 96 |
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Langue | Français |
Extrait
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013
Racines de l’unité
Exercice 1[ 02036 ][correction]
Calculer le produit des racines de l’unité
Exercice 2[ 02037 ][correction]
Soitn∈N?. On noteUnl’ensemble des racinesnème de l’unité.
Calculer
X|z−1|
z∈Un
Exercice 3X PC[ 03353 ][correction]
Soientn>3,ω1 ωnles racinesn-ième de l’unité avecωn= 1.
a) Calculer pourp∈Z,
n
Sp=Xωip
i=1
b) Calculer
−
n11
T=i=X11−ωi
Exercice 4[ 02038 ][correction]
Soitωune racinenème de l’unité différente de 1. On pose
n−1
S=X(k+ 1)ωk
k=0
En calculant(1−ω)S, déterminer la valeur deS.
Exercice 5
Simplifier :
[ 02039 ][correction]
a)j(j+ 1)
b)2j
j+ 1
j+ 1
c
)j−1
Enoncés
Exercice 6[ 02040 ][correction]
Soitn∈N?. Résoudre l’équation
(z+ 1)n= (z−1)n
Combien y a-t-il de solutions ?
Exercice 7[ 02041 ][correction]
Soitn∈N?. Résoudre dansCl’équation
zn+ 1 = 0
Exercice 8[ 02042 ][correction]
Soitn∈N?. Résoudre dansCl’équation
(z+i)n= (z−i)n
Observer que celle-ci admet exactementn−1solutions, chacune réelle.
Exercice 9[ 02043 ][correction]
Soitω=ei72π. Calculer les nombres :
A=ω+ω2+ω4etB=ω3+ω5+ω6
Exercice 10[ 02044 ][correction]
Soientn∈N,n>2etω= exp(2iπn).
a) Etablir que pour toutz∈C z6= 1,
n−1n−1
Y(z−ωk) =Xz`
k=1`=0
b) Justifier que l’égalité reste valable pourz= 1.
c) En déduire l’égalité
n−1
Ysinπnk2=nn−1
k=1
Exercice 11Centrale PC[ 02531 ][correction]
Montrer que
sin5π=s5−8√5
1
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z+ 1
z−1 =ωk
Exercice 6 :[énoncé]
Notonsωk=e2inkπaveck∈Zles racinesnème de l’unité.
mentz6= 1zz−1n= 1donc il exist
Sizest solution alors nécessaire et+1e
k∈ {01 n−1}tel que
Pn= (X−1)n−Xn=−nXn−1+n(n2−1)Xn−2+∙ ∙ ∙
puis
T= (n−1)
2
On peut aussi retrouver cette relation en considérant queTest la somme des
racines d’un polynôme bien construit
Exercice 1 :[énoncé]
Puisque le produit d’exponentielles est l’exponentielle de la somme
nk−Y01=e2ikπn= expnk−=X102πkin!xp2niπknX−1=0k!= exp(i(n−1)π) = (−1)n−1
= e
Exercice 2 :[énoncé]
Notonsωk=e2inkπaveck∈Z. Par factorisation d’exponentielle équilibrée
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Corrections
Exercice 3 :[énoncé]
Quitte à réindexer, on peut supposer
S=n1
ω−
Sp=Xnωkp=ωp1−ωωnpp= 0
1−
k=1
∀k∈ {1 n} ωk=e2ikπn=ωkavecω=e2iπn
a) Sinne divise parpalors, puisqueωp6= 1
Alors
X2 sin
z∈XUn|z−1|=kn=−01nπk= 2Imnk−X1=0eiknπ!= 4Im
kπ
|ωk−1|= 2 sin
n
Exercice 4 :[énoncé]
On a
n−1n n−1
(1−ω)S=X(k+ 1)ωk−Xkωk=Xωk−nωn=−n
k=0k=1k=0
π
1i n cos= 22n= 2 cotπ
1−eπsin2πn2ndonc
on a
n−1cotkπ= 0
Xn
k=1
Exercice 5 :[énoncé]
a)
j(j+ 1) =j2+j=−1
1−ikπn1=i kπ1
=−e
1−ωk2isinnkπ2 cotn2+
Sindivisepalors
n n
Sp=Xωkp=X1 =n
k=1k=1
b) Pour16k6n−1, on a
Puisque
=X−c
nk−X1=1cotkπn`=n=−nk`−X11=cotπ−nπ`n−1otπn`
`=1
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Corrections
2
j=j=−1
j2+ 1−j
j+ 1 (j+ 1)(j−1) (j+ 1)(j2−1)j3+j2−j−1−1−2j
= = = =
j−(1j−1)(j−1) (j−1)(j2−1)j3−j2−j 3+ 1
c)
b)
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Corrections
ce qui donne
(ωk−1)z=ωk+ 1
Sik= 0alors ce la donne0 = 2donc nécessairementk∈ {1 n−1}etωk6= 1.
Par suite
ωk 2+ 1 coskπkπ
z= =n=−
ωk−1 2isinknπicotn
Inversement, en remontant le calcul : ok
Finalement
S=−icotkknπ∈ {1 n−1}
Puisque la fonctioncotest injective sur]0 π[, il y a exactementn−1solutions.
Exercice 7 :[énoncé]
On a
zn+ 1 = 0⇔zn=eiπ
z0=eiπnest solution particulière de l’équation et donc
S={z0ωkk∈ {0 n−1}}=nei(2nk+1)πk∈ {0 n−1}o
Exercice 8 :[énoncé]
z=in’est pas solution.
Pourz6=i,
(z+i)n= (z−i)n⇔zz+−iin= 1⇔ ∃k∈ {0 n−1}zz−+ii=ωk
en notantωk=e2ikπn
.
Pourk= 0,ωk= 1et l’équationzz+−ii=ωkn’a pas de solution.
Pourk∈ {1 n−1},ωk6= 1et l’équationzz−+ii=ωka pour solution
k=i ωkk+−11
z
ω
AinsiS={z1 zn−1}avec
2 coskπeiknπ
zk=ikπnikπ= cotnπk∈R
2isinen
n
deux à deux distincts carcotest strictement décroissante sur l’intervalle]0 π[où
.
évoluent lesnπkpour16k6n−1
Exercice 9 :[énoncé]
On a
1 +A+B= 0,AB= 2et Im(A)>0
donc
A=B=¯−1 +i√7
2
Exercice 10 :[énoncé]
a) Puisque les racines de l’équationzn−1sont1 ω ωn−1, on a
n−1
zn−1 = (z−1)Y(z−ωk)
k=1
Or on a aussizn−1 = (z−1)(1 +z+∙ ∙ ∙+zn−1)d’où l’égalité proposée pour
z6= 1.
n−1n−1
b) Les fonctionsx7→Q(x−ωk)etx7→Px`sont définies et continues surR
k=1`=0
et coïncident surR {1}en 1 par passage à la limite., elles coïncident donc aussi
n−1
c) Pourz= 1, l’égalité du a) donneQ(1−ωk) =n. Or par factorisation de
k=1
l’exponentielle équilibrée,
et
donc
puis la relation proposée.
1−ωk=−ikπkπ
en2isin
n
n−1
n−1iπPk=in−1
Yeiknπ= ekn=1
k=1
nY−1(1−ωk) = 2n−1kπ
n−1Ysinn
k=1k=1
3
Exercice 11 :[énoncé]
Puisque la somme des racines 5-ième de l’unité, en considérant la partie réelle, on
obtient
2π4
1 + 2 cos + 2 cos 5π= 0
5
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Corrections
Sachantcos 2a cos= 22a−1, on obtient quecos(2π5)est solution positive de
l’équation
4r2+ 2r−1 = 0
et donc
Orcos 2a= 1−2 sin
2adonc
2π√5−1
cos 5 = 4
π
1−2 sin2=
5
√5−1
4
puis
2π5−√5
sin =
5 8
et enfin la formule proposée puisquesin(π5)>0.
4
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