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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Inégalités et séries de Fourier

Exercice 1[ 00965 ][correction]
[Inégalité de Wirtinger]
Soitf:R→Cune fonction2πpériodique de classeC1telle que
Z2π
f= 0
0

a) Rappeler la relation existant entrecn(f)etcn(f0).
b) Montrer que
Z02π|f(t)|2dt6Z20π|f0(t)|2dt
et préciser les cas d’égalités.

Exercice 2
Soitf:R→

CCP MP[ 03700 ][correction]
Cune fonction2πpériodique de classeC1telle que
Z20πf=
0

a) Pourquoi peut-on appliquer la formule de Parseval aux fonctionsfetf0.
b) Rappeler la relation existant entrecn(f)etcn(f0).
c) Montrer que
Z2πf(t)|2dt6Z02π|f0(t)|2dt
|
0
d) On suppose que
Z Z

Enoncés

2π2π
|f(t)|2dt=|f0(t)|2dt
0 0
Montrer que pour toutk∈Z {−101},ck(f) = 0; en déduire, grâce au
théorème de convergence uniforme des séries de Fourier, qu’il existe deux scalaires
AetBtels quef(x) =Ae−ix+Beixpour toutx∈R.
e) Réciproquement, montrer que sif(x) =Ae−ix+Beixalors
π
Z20π|f(t)|2dt=Z2|f0(t)|2dt
0

Exercice 3[ 00433 ][correction]
[Inégalité de Poincaré]
Soitf: [01]→Rde classeC1vérifiantf(0) =f(1) = 0. Etablir
Z01f(t)2dt6π12Z01(f0(t))2dt

Observer que la constante de majoration ne peut tre améliorée.

Exercice 4[ 02752 ][correction]
Soitf:R→Rune fonction2π-périodique de classeC1et vérifiant
Z02π
f(t) dt= 0

Montrer que

kfk2∞π6Z2π
6(f0(t))2dt
0

Exercice 5[ 03495 ][correction]
Soientf:R→C2π-périodique et de classeC2eta b∈R+tels que4ab>1.
Etablir

Z0|2+bZ20π|f00|2>Z02π|f0|2
a|f

1

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a) PuisquefestC1, on a par intégration par partiescn(f0) =incn(f).
b) PuisqueR02πf= 0, on ac0(f) = 0. Par l’égalité de Parseval :
|f(t)|2dt= 2πX|cn(f)|2
Z20π+∞
n=−∞

et
2π+∞+∞
|f0(t)|2dt= 2πX|cn(f0)|2= 2πXn2|c
Z0n=−∞n=−∞
Puisquec0(f) = 0, on peut écrire

+∞+∞
X|cn(f)|26Xn2|cn(f)|2
n=−∞n=−∞

donc
Z20π|f(t)|2dt6Z20π|f0(t)|2dt
avec égalité si, et seulement si,

∀n∈Z?|cn(f)|=|cn(f0)|=n|cn(f)|

n(f)|2

Ceci impliquecn(f) = 0pour toutn6=±1et, puisque la série converge
normalement versf,fest de la formet7→λeit+µe−it.
La réciproque est immédiate.

Exercice 2 :[énoncé]
a) On peut appliquer la formule de Parseval dès que les fonctions sont
2π-périodiques et continues par morceaux.
b) PuisquefestC1on a par intégration par parties, cn(f0) =incn(f).
c) PuisqueR02πf= 0, on ac0(f) = 0. Par l’égalité de Parseval :
Z20π|f(t)|2dt= 2πn+=X∞∞−|cn(f)|2

et

Z2π+∞+∞
|f0(t)|2dt= 2π|cn(f0)|2=
0n=X−∞2πn=X−∞n2|cn(f)|2

Corrections

Puisquec0(f) = 0, on peut écrire

donc

d) S’il y a égalité alors

+∞+∞
X|cn(f)|26Xn2|cn(f)|2
n=−∞n=−∞


Z20π|f(t)|2dt6Z0(t)|2dt
|f0

∀n∈Z?|cn(f)|=|cn(f0)|

donc
∀n∈Z?|cn(f)|=n|cn(f)|
Ceci impliquecn(f) = 0pour toutn6=±1.
Puisque la fonctionfest de classeC1, la série de Fourier defconverge
uniformément versfet donc

f(x) =c1(f)eix+c−1(f)e−ix

2

e) Les coefficients de Fourier def(x) =Ae−ix+Beixsont immédiats car il s’agit
d’un polynôme trigonométrique. On peut alors à nouveau appliquer la formule de
Parseval pour assurer l’égalité sans calcul.

Exercice 3 :[énoncé]
Considérons la fonctiongdéfinie sur[−π π]par
g(x) =f−(tf(π−)tπ)isistt∈∈[0[−ππ][0

La fonctiongest continue en 0 carf(0) = 0.
Par construction la fonctiongest impaire.
La fonctiongest de classeC1sur[−π π]carg0d(0) =1πf0(0) =gg0(0).
Puisqueg(π) =f(1) = 0 =g(−π), on peut prolonger la fonctiongen une fonction
2π-périodique et cette fonction est encore de classeC1car
gg0(π) =π1f0(1) =g0d(−π).

Enfin, par imparité deg
Z−ππg(x) dx= 0
En vertu de l’inégalité de Wirtinger
Z−ππg(x)2dx6Zπ
g0(x)2dx
−π

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Par parité, on en déduit

Z0πg(x)2dx6Z0πg0(x)2dx

Puis on obtient alors facilement
1
Z012dt6π12Z0
f(t) (f0(t))2dt

Pourf(t) = sin(πt)les hypothèses sont vérifiées avec
2dt= 1et
Z01f(t2)Z10(f0(t))2dt=π22

La constante de majoration ne peut donc tre améliorée.

Corrections

Exercice 4 :[énoncé]
Par le théorème de convergence normale, la fonctionfest égale à la somme de sa
série de Fourier ce qui permet d’écrire

+∞
f(t) =Xcn(f)eint
n=−∞

avecc0(f) = 0car la fonctionfest supposée d’intégrale nulle.
Sachantcn(f0) =incn(f), on a encore
f(t) =Xi1n cn(f0)eint
n∈Z?

Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz
|f(t)|26Xn12X|cn(f0)|2
n∈Z?n∈Z?

Or
Xn12= 2+X∞n12=π2
n∈Z?n=13
et par la formule de Parseval
n∈Z?n(f0)|26n+=X∞−∞|cn(f0)|2Z20π
X|c=12π(f0(t))2dt

On en déduit

et l’on peut donc conclure.

|f(t)|26π6Z20π(f0(t))2dt

Exercice 5 :[énoncé]
On sait
cn(f0) =incn(f)etcn(f00) =−n2cn(f)

Par la formule de Parseval, l’inégalité demandée équivaut à

+∞
X(bn4−n2+a)|cn(f)|2>0
n=−∞

4
Or le trinômebn−n2+aest de signe constant positif (carb >0et
Δ = 1−4ab60)
.
Par sommation de quantités positives, l’inégalité proposée a bien lieu.

3

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